Règle de d'Alembert

Jean Le Rond d'Alembert, mathématicien français.

La règle de d'Alembert (ou critère de d'Alembert), doit son nom au mathématicien français Jean le Rond d'Alembert. C'est un test de convergence pour une série à termes positifs.

Dans certains cas, elle permet d'établir la convergence absolue d'une série à termes complexes ou vectoriels, ou au contraire sa divergence.

Énoncé

Soit Modèle:Math une suite de réels strictement positifs. On note $\ell$ et $L$ les limites inférieure et supérieure des quotients successifs :

$0\le \ell :=\mathrm{lim\; inf}\frac{u_{n+1}}{u_n}\le L:=\mathrm{lim\; sup}\frac{u_{n+1}}{u_n}\le +\mathrm{\infty }$.

• Si $L<1$, alors la série de terme général Modèle:Math converge.
• Si $\ell >1$, alors la suite ne tend pas vers 0 (donc la série diverge grossièrement).

Si $\ell \le 1\le L$, on ne peut rien conclure : c'est le cas incertain de la règle de d'Alembert.

Remarques

• La règle de d'Alembert se démontre directement, mais peut aussi se déduire de celle de Cauchy, grâce au lemme de Cesàro.
• Dans le cas incertain $\ell \le 1\le L$, on peut essayer la règle de Cauchy, plus précise.
• Lorsque la suite $\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$ admet une limite $\lambda$, l'énoncé se simplifie car $\ell =\lambda =L$. Dans le cas incertain $\lambda =1$, on peut essayer la règle de Raabe-Duhamel.
• La règle de d'Alembert peut être employée pour étudier la convergence d'une série à termes dans un espace vectoriel normé E, en analysant la série Modèle:Math des normes. Si Modèle:Math et si E est complet (par exemple si E = ℝ ou ℂ), la série vectorielle est absolument convergente, tandis que si Modèle:Math, elle est grossièrement divergente.