Règle de Raabe-Duhamel

Modèle:Ébauche Modèle:Voir homonymes En mathématiques, la règle de Raabe-Duhamel est un théorème permettant d'établir la convergence ou la divergence de certaines séries à termes réels strictement positifs, dans le cas où une conclusion directe est impossible avec la règle de d'Alembert. Elle tire son nom des mathématiciens Joseph Raabe et Jean-Marie Duhamel.

Énoncé

Cette règle est un corollaire immédiat de celle de Kummer (section ci-dessous).

Dans le cas particulier où la suite ${\left(n(\frac{u_{n+1}}{u_n}-1)\right)}_n$ admet une limite réelle - Modèle:Math, ce qui équivaut à

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha }{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$,

la règle de Raabe-Duhamel garantit que :

• si Modèle:Math, $\sum u_n$ diverge ;
• si Modèle:Math, $\sum u_n$ converge.

Si Modèle:Math, l'exemple de la série de Bertrand montre que l'on ne peut pas conclure.

Exemple

Soient $x,y>0$. La série de terme général Modèle:Retrait est divergente si $y\le x+1$ et convergente si $y>x+1$. En effet : Modèle:Retrait

Règle de Kummer

La règle de Kummer peut s'énoncer comme suitModèle:, : Modèle:Énoncé Henri Padé a remarqué en 1908 que cette règle n'est qu'une reformulation des règles de comparaison des séries à termes positifs.

Un autre corollaire de la règle de Kummer est celle de Bertrand (en prenant Modèle:Math), dont le critère de GaussModèle:, est une conséquence.

Bibliographie

Jean-Marie Duhamel, Nouvelle règle sur la convergence des séries, JMPA, vol. 4, 1839, p. 214-221