Série de Bertrand

Pour Modèle:Math et Modèle:Math deux réels, on appelle série de Bertrand (du nom de Joseph Bertrand) la série à termes réels positifs suivante :

$\sum _{n\ge 2}\frac{1}{n^{\alpha }(\ln n{)}^{\beta }}.$

Condition de convergence

Énoncé

Cette condition nécessaire et suffisante se résume en Modèle:Math, où l'ordre sur les couples de réels est l'ordre lexicographique (celui adopté pour trier les mots dans un dictionnaire : on tient compte de la première lettre, puis de la deuxième, etc.).

Démonstration par le critère intégral de Cauchy

La série de Bertrand a le même comportement que l'[[Intégrale impropre|intégrale en Modèle:Math]] de la fonction

$f:x\mapsto \frac{1}{x^{\alpha }{\ln }^{\beta }x}$

(définie et strictement positive sur Modèle:Math), car Modèle:Mvar est monotone au-delà d'une certaine valeur. On a donc la même conclusion que pour l'intégrale de Bertrand associée :

• si Modèle:Math, la série converge ;
• si Modèle:Math, elle diverge ;
• si Modèle:Math, elle converge si et seulement si Modèle:Math.

On peut de plus remarquer que si Modèle:Math ou si Modèle:Math et Modèle:Math, alors Modèle:Mvar est croissante au-delà d'une certaine valeur donc la divergence est grossière.

Démonstration par comparaison avec d'autres séries

Les cas Modèle:Math se traitent facilement par comparaison avec des séries de Riemann (et croissances comparées).

Si Modèle:Math, la série diverge car son terme général est équivalent à celui, $\ln \ln (n+1)-\ln \ln n$, d'une série télescopique divergente. Par comparaison avec ce cas limite, on en déduit que la série diverge si Modèle:Math et Modèle:Math (et a fortiori si Modèle:Math).

Si Modèle:Math et Modèle:Math, on peut procéder de même en remarquant que pour tout Modèle:Math, $\frac{\gamma }{n{\ln }^{1+\gamma }n}\sim \frac{1}{{\ln }^{\gamma }n}-\frac{1}{{\ln }^{\gamma }(n+1)}$, ou utiliser le test de condensation de Cauchy. (On retrouve ensuite, par comparaison, les cas Modèle:Math.)

Voir aussi

• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage