Constante de Cahen

En mathématiques, la constante de Cahen est définie comme une somme infinie de fractions unitaires, avec des signes alternés, à partir de la suite de Sylvester $(s_i)$ :

$C=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{s_i-1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{42}+\frac{1}{1806}-\cdots \approx 0,64341054629$.

En regroupant ces fractions deux par deux, on peut aussi voir cette constante comme la somme des inverses des termes d'indices pairs de la suite de Sylvester ; cette représentation de la constante de Cahen est son développement par l'algorithme glouton pour la décomposition en fractions égyptiennes :

$C=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{s_{2j}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{1807}+\frac{1}{10650056950807}+\cdots$.

Son nom vient d'Eugène Cahen, qui est le premier à l'avoir formulée et étudiée.

C'est un nombre transcendant [[Nombre transcendant#Classification des nombres transcendants|de la classe Modèle:Math]] et son développement en fraction continue estModèle:, $[0,1,q_0^2,q_1^2,q_2^2,\dots ]$, où la suite $(q_n)$ est définie par récurrence par $q_0=q_1=1$ et $q_{n+2}=q_n^2{q}_{n+1}+q_n$.