Développement en cotangente continue de Lehmer

En mathématiques, le développement en cotangente continue d'un nombre réel est une écriture de ce nombre utilisant une suite de nombres entiers et la fonction cotangente. Il a été découvert par Derrick Lehmer et permet de retrouver des propriétés équivalentes à celles du développement en fraction continue, tout en permettant d'approcher le réel limite de façon plus efficace.

Définition et propriétés

En 1938, Lehmer remarque que la plupart des développements de nombres se basent sur l'itération suivante :

$x=f(x_0,f(x_1,f(x_2,\dots )))$

Par exemple,

• $f(x,y)=x+\frac{y}{b}$ donne le développement en base Modèle:Mvar
• $f(x,y)=x+\frac{1}{y}$ donne le développement en fraction continue
• $f(x,y)=\frac{1}{x}(1+y)$ donne le développement en série de Engel

Il considère alors la fonction

$f(x,y)=\frac{xy+1}{y-x}=\cot (\mathrm{arccot}(x)-\mathrm{arccot}(y)).$

Le développement en cotangente continue d'un nombre réel Modèle:Mvar est la suite de nombres entiers Modèle:Math tel que :

$x=\cot (\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\mathrm{arccot}(n_k))$

Développements réguliers et réduits

Le développement en cotangente continue est dit régulier si :

• pour tout Modèle:Mvar, Modèle:Mvar est un entier positif
• la suite vérifie

$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},n_{k+1}⩾n_k^2+n_k+1$

Dans le cas où la suite est finie, l'inégalité est stricte pour le dernier Modèle:Mvar non nul.

Un développement en cotangente continue est dit réduit s'il est interrompu à partir d'un certain terme. On en déduit une approximation rationnelle du nombre, pas forcément sous sa forme réduite.

Lehmer établit aussi que tout nombre réel Modèle:Mvar admet un développement en cotangente continue régulier unique et convergent, fini si et seulement si Modèle:Mvar est rationnel.

Liens avec le développement en fraction continue généralisée

À partir des entiers du développement en cotangente continue d'un nombre, on peut construire son développement en fraction continue généralisée. En effet, on a, puisque $f(x,y)=x+\frac{x^2+1}{y-x}$ :

$\mathrm{\forall }x,x=\cot (\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\mathrm{arccot}(n_k))=n_0+\frac{n_0^2+1}{n_1-n_0+\frac{n_1^2+1}{n_2-n_1+\frac{n_2^2+1}{n_3-n_2+\ddots }}}$

Construction du développement

Développement pour un nombre rationnel

Pour Modèle:Math rationnel, la suite du développement s'obtient à partir d'un algorithme similaire à l'algorithme d'Euclide pour Modèle:Mvar et Modèle:Mvar :

Initialisation

On pose Modèle:Math et Modèle:Math.

Récurrence

À l'étape Modèle:Mvar :

• Modèle:Mvar est le quotient de la division euclidienne de Modèle:Mvar par Modèle:Mvar
• Modèle:Math est le reste de la division euclidienne de Modèle:Mvar par Modèle:Mvar
• Modèle:Math

L'algorithme s'arrête quand le reste est nul.

On l'applique pour Modèle:Math

Étape Modèle:Mvar	Dividende $p_k$	Diviseur $q_k$	Équation $p_k=q_k{n}_k+q_{k+1}$	Quotient $n_k$	Reste $q_{k+1}$	Itération $p_k{n}_k+q_{k+1}=p_{k+1}$
0	37	25	37 = 25 × 1 + 12	1	12	37 × 1 + 25 = 62
1	62	12	62 = 12 × 5 + 2	5	2	62 × 5 + 12 = 322
2	322	2	322 = 2 × 161 + 0	161	0	Fin de l'algorithme

Soit :

$\frac{37}{25}=\cot (\mathrm{arccot}(1)-\mathrm{arccot}(5)+\mathrm{arccot}(161))$

Développement pour un nombre irrationnel

Pour Modèle:Mvar irrationnel, la suite du développement s'obtient par récurrence :

Initialisation

On pose Modèle:Math.

Récurrence

À l'étape Modèle:Mvar :

$n_k=\lfloor x_k\rfloor$

$x_{k+1}=\frac{x_k\lfloor x_k\rfloor +1}{x_k-\lfloor x_k\rfloor }$

On l'applique pour Modèle:Math

Étape Modèle:Mvar	Racine $x_k$	Partie entière $n_k$	Itéré $x_{k+1}$
0	Modèle:Math ≈ 2,7182818...	2	8,961055...
1	8,961055956...	8	75,62293911...
2	75,62293911...	75	8949,669392...
3	8949,669392...	8949	119646723,6...

Soit :

$\mathrm{e}=\cot (\mathrm{arccot}(2)-\mathrm{arccot}(8)+\mathrm{arccot}(75)-\mathrm{arccot}(8949)+\mathrm{arccot}(119646723)-\dots )$ Modèle:OEIS

D'autres suites pour des constantes classiques sont données sur le site de l'OEIS :

$\sqrt{2}=\cot (\mathrm{arccot}(1)-\mathrm{arccot}(5)+\mathrm{arccot}(36)-\mathrm{arccot}(3406)+\mathrm{arccot}(14694817)-\dots )$ Modèle:OEIS

$\pi =\cot (\mathrm{arccot}(3)-\mathrm{arccot}(73)+\mathrm{arccot}(8599)-\mathrm{arccot}(400091364)+\mathrm{arccot}(371853741549033970)-\dots )$ Modèle:OEIS

$\begin{array}{cc}\phi & =\cot (\mathrm{arccot}(1)-\mathrm{arccot}(4)+\mathrm{arccot}(76)-\mathrm{arccot}(439204)+\mathrm{arccot}(84722519070079276)-\dots )\\ & =\cot (\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\mathrm{arccot}(L_{3^k}))\end{array}$ Modèle:OEIS

où $\phi$ est le nombre d'or et Modèle:Mvar désigne le nombre de Lucas d'indice Modèle:Mvar.

Constante de Lehmer

Dans sa comparaison entre les développements en fraction continue et ceux en cotangente continue, Lehmer cherche à déterminer les cas où le développement converge le plus lentement. Le développement en fraction continue à la convergence la plus lente correspond à la valeur :

$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=0+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}=[0,1,1,\dots ]$

Le développement en fraction cotangente continue à la convergence la plus lente correspond au cas :

$n_0=0,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},n_{k+1}=n_k^2+n_k+1$

soit

$\begin{array}{cc}\xi & =\cot (\mathrm{arccot}(0)-\mathrm{arccot}(1)+\mathrm{arccot}(3)-\mathrm{arccot}(13)+\mathrm{arccot}(183)-\mathrm{arccot}(33673)+\mathrm{arccot}(1133904603)-\dots )\\ & \approx 0,59263271.\\ \end{array}$

Ce nombre est appelée constante de Lehmer, voir la Modèle:OEIS. Ce dernier a affirmé que ce nombre était transcendant mais sa preuve n'est pas valide.

Applications

Les développements en cotangente continue constituent une alternative aux fractions continues en approximation diophantienne.

Le développement en cotangente continue, grâce à sa convergence très rapide, permet de construire des formules du type de Machin très efficaces. En effet, en reprenant l'exemple du développement de Modèle:Math vu supra :

$\frac{37}{25}=\cot (\mathrm{arccot}(1)-\mathrm{arccot}(5)+\mathrm{arccot}(161))$

permet d'écrire :

$\mathrm{arccot}\left(\frac{37}{25}\right)=\mathrm{arccot}(1)-\mathrm{arccot}(5)+\mathrm{arccot}(161)$

soit

$\mathrm{arccot}(1)=\frac{\pi }{4}=\arctan \left(\frac{25}{37}\right)+\arctan \left(\frac{1}{5}\right)-\arctan \left(\frac{1}{161}\right)$

Références

• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Modèle:MathWorld