Nombre de Lucas

La spirale des nombres de Lucas, formée à l'aide de quarts d'arcs de cercle à l'intérieur de carrés dont la mesure des côtés correspondent aux nombres de Lucas.

En mathématiques, les nombres de Lucas sont les termes de la suite de Lucas généralisée associée à la suite de Fibonacci. Cette suite est donc définie par la même relation de récurrence linéaire :

$L_{n+2}=L_{n+1}+L_n$

mais par deux valeurs initiales différentes : au lieu de 0 et 1,

$L_0=2,L_1=1.$

La suite Modèle:Math est appelée « suite de Fibonacci-Lucas » ou plus simplement « suite de Lucas ».

Premières valeurs

Cette suite d'entiers est strictement croissante à partir de n = 1. Ses dix premiers termes (pour n de 0 à 9) sont 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 et 76 (pour n jusqu'à 500, voir la Modèle:OEIS).

Propriétés

Relation entre un nombre de Lucas et le nombre d’or

Le terme général Modèle:Mvar de la suite de Lucas s'exprime en fonction du nombre d'or Modèle:Mvar par la formule suivante, analogue à la formule de Binet pour la suite de Fibonacci :

$L_n={\phi }^n+(-\phi {)}^{-n}={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n$ ;

Les puissances successives de Modèle:Mvar sont donc voisines des nombres de Lucas. Plus précisément, $|L_n-{\phi }^n|$ est égal à Modèle:Math, qui est strictement inférieur à 1/2 pour $n⩾2$ (et qui tend rapidement vers 0), ce qui montre que Modèle:Mvar est alors l'entier le plus proche de Modèle:Mvar. Par exemple : Modèle:Math = 2,61809..., Modèle:Math = 4,23606..., Modèle:Math = 6,85410...

Relations entre les nombres de Lucas et ceux de Fibonacci

Les nombres de Lucas sont liés aux nombres de Fibonacci par les identités :

• $L_n+F_n=2F_{n+1}$
• $L_n=F_{n-1}+F_{n+1}=F_n+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}$
• $L_{m+n}=L_{m+1}{F}_n+L_m{F}_{n-1}$
• $L_n^2=5F_n^2+4(-1{)}^n$, et ainsi la suite $\left(\frac{L_n}{F_n}\right)$ converge vers $\sqrt{5}$.
• $F_{2n}=L_n{F}_n$
• $F_{3n}=(L_{2n}+(-1{)}^n)F_n$
• $F_{n+k}+(-1{)}^k{F}_{n-k}=L_k{F}_n$
• $L_{n+k}-(-1{)}^k{L}_{n-k}=5F_k{F}_n$, et donc
• $L_n=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n+2}-F_{n-2}=\frac{F_{n-3}+F_{n+3}}{2}=\frac{F_{n+4}-F_{n-4}}{3}=\frac{F_{n-5}+F_{n+5}}{5}=\dots =\frac{F_{n-k}+F_{n+k}}{F_k}$, et
• $F_n=\frac{L_{n-1}+L_{n+1}}{5}=\frac{L_{n-3}+L_{n+3}}{10}=\frac{L_{n-5}+L_{n+5}}{25}=\frac{L_{n-7}+L_{n+7}}{65}=\dots$

Relation entre Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et le nombre d’or

En comparant la formule de Binet, $F_n=\frac{{\phi }^n-(-\phi {)}^{-n}}{\sqrt{5}}$, et la formule analogue pour la suite de Lucas, $L_n={\phi }^n+(-\phi {)}^{-n}$, on déduit la relation entre Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar :

${\phi }^n=\frac{L_n+F_n\sqrt{5}}{2}.$

Divisibilité des nombres de Lucas

Une première approche de la question de la divisibilité de Modèle:Mvar par un entier Modèle:Mvar consiste à étudier la suite des restes de Modèle:Mvar [[arithmétique modulaire|modulo Modèle:Mvar]] : cette suite (rModèle:Ind) vérifie (dans Z/Modèle:MvarZ) la même récurrence Modèle:Math et est donc périodique de période au plus Modèle:Math (les longueurs des périodes en fonction de Modèle:Mvar forment la suite des périodes de Pisano, Modèle:OEIS). Plus précisément, l'étude de cette récurrence, et de la relation Modèle:Math, dans le corps Z/Modèle:MvarZ (où Modèle:Mvar est un nombre premier) amène à des résultats analogues à ceux obtenus pour la suite de FibonacciModèle:,.

On démontre également qu’aucun nombre de Lucas n'est divisible par un nombre de Fibonacci $F_n⩾5$ .

Nombres de Lucas premiers

On conjecture que la sous-suite des nombres de Lucas premiers, 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521Modèle:Etc — Modèle:OEIS — est infinie.

Les indices correspondants, 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13Modèle:Etc. (Modèle:OEIS2C), sont tous, hormis 0, premiers ou puissances de 2 , et les seules puissances de 2 connues qui font partie de cette suite d'indices sont 2, 4, 8 et 16.

Congruences

• $L_{n+4}\equiv L_{n}mod5$ (car $L_{n+4}-L_n=5F_{n+2}$)
• $L_n\equiv 1modn$ si Modèle:Mvar est premier mais la réciproque est fausse. Les nombres composés vérifiant $L_n\equiv 1modn$ sont les nombres pseudo-premiers de Fibonacci.