Période de Pisano

Tracé des 10 000 premières périodes de Pisano.

En théorie des nombres, la $n$-ième période de Pisano, notée $\pi (n)$, est la longueur de la période à partir de laquelle la suite de Fibonacci, modulo $n$ se répète. Par exemple, la suite de Fibonacci modulo 3 est 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, etc. avec les huit premiers chiffres se répétant donc π(3) = 8.

On peut montrer, en utilisant le Théorème chinois que, si $m,n$ sont premiers entre eux, alors $\pi (mn)=ppcm(\pi (m),\pi (n))$, on se ramène ainsi à connaître les $\pi (p^k)$ pour $p$ premier et $k$ entier non nul. En outre $\pi (p^k)$ divise $p^{k-1}\pi (p)$. Il n'est, par contre, pas connu s'il y a égalité entre ces deux quantités pour tous les $p,k$.

Les périodes de Pisano sont nommées d'après Leonardo Pisano, mieux connu sous le nom de Fibonacci. L'existence de fonctions périodiques dans la suite de Fibonacci a été notée par Joseph Louis Lagrange en 1774.