Formule de Machin

Extrait du Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) de William Jones, présentant la série de John Machin.

La formule de Machin fut découverte en 1706 par John Machin et relie le [[Pi|nombre Modèle:Math]] à la fonction trigonométrique arctangente :

$\pi =16\arctan \frac{1}{5}-4\arctan \frac{1}{239}.$

Cette formule permet de calculer une [[Approximation de π|approximation du nombre Modèle:Math]] grâce au développement en série entière de la fonction arctangente. John Machin l'utilisa pour obtenir les cent premières décimales de Modèle:Math.

Démonstrations

On peut démontrer la formule de Machin en utilisant l'identité trigonométrique Modèle:Retrait

Une façon moderne de présenter le résultat est de le relier aux propriétés des nombres complexes. La formule de Machin découle alors de l'identité suivante entre nombres complexes : Modèle:Retrait

En effet, on peut montrer l'équivalence suivante : Modèle:Retrait

Ceci permet de conclure en remarquant que l'on peut encore remplacer $y+\mathrm{i}$ par $\frac{1}{-y+\mathrm{i}}$ et en vérifiant que $4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$ est strictement compris entre $\frac{\pi }{4}-\pi$ et $\frac{\pi }{4}+\pi$.

Utilisation

Le développement de Modèle:Math en série entière fournit la méthode de calcul suivante : Modèle:Retrait

Formules du type de Machin

D'autres formules du même type ont été découvertes, et on appelle « formules du type de Machin » les formules de la forme : Modèle:Retrait où les $a_n$ et les $b_n$ sont des entiers.

Formules historiques

Il n'existe que trois autres formules du type de Machin avec deux termes seulement. Elles ont été découvertes respectivement par Euler, Hermann et Hutton (1776, utilisée par Vega en 1789) : Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait

Elles découlent respectivement des identités suivantes entre nombres complexes : Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait

Il est en fait possible de construire une infinité de formules de ce type en utilisant plus de termes, mais seules les formules les plus efficaces historiquement pour calculer le nombre $\pi$ sont devenues célèbres. Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait

La recherche de formules de Machin efficaces se fait désormais systématiquement à l'aide d'ordinateurs. Les formules les plus efficaces du type de Machin actuellement connues pour calculer Modèle:Math sont : Modèle:Retrait Modèle:Retrait

Il existe d'autres formules qui convergent plus rapidement vers Modèle:Math, comme la formule de Ramanujan, mais elles ne sont pas du type de Machin.

Formules de type Machin basées sur la suite de Fibonacci

On peut construire de façon très simple des formules de type Machin en utilisant les termes de la suite de Fibonacci $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$. En effet, en utilisant l'identité de Cassini :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},F_{p+1}{F}_{p-1}-F_p^2=(-1{)}^p$

on peut déduire l'égalité :

$\mathrm{\forall }n⩾1,\arctan \frac{1}{F_{2n}}=\arctan \frac{1}{F_{2n+1}}+\arctan \frac{1}{F_{2n+2}}.$

On peut en déduire les formules :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\pi =4\sum _{k=1}^{n-1}\arctan \frac{1}{F_{2k+1}}+4\arctan \frac{1}{F_{2n}}.$

La formule de type Machin découverte par Euler correspond au cas n = 2.

Formules de type Machin basées sur les développements de Lehmer

Modèle:Article détaillé Des formules de type Machin reposent sur le développement en contangente continue de Lehmer d'un nombre rationnel : pour un nombre positif rationnel Modèle:Mvar donnée, il existe un unique ensemble fini d'entiers positifs Modèle:Math vérifiantModèle:,

$b_k⩾b_{k-1}^2+b_{k-1}+1$

telle que :

$x=\cot (\sum _{k=0}^N(-1{)}^k\mathrm{arccot}(b_k))=\cot [\sum _{k=0}^N(-1{)}^k\arctan \left(\frac{1}{b_k}\right)].$

Une suite de nombres bien choisis donne des formules efficaces, mais les derniers termes sont souvent de grands nombres.

Recherche de formules efficaces

Afin de déterminer l'efficacité d'une formule du type de Machin, Derrick Lehmer a défini une mesure, pour la formule : Modèle:Retrait on pose Modèle:Retrait La mesure quantifie la « quantité d'effort » requis par la formule, et celle-ci sera d'autant meilleure que sa mesure sera petite.

La meilleure formule connue à ce jour selon ce critère est: Modèle:Retrait