Constante de Kepler-Bouwkamp

Construction des cercles et polygones inscrits illustrant la définition. Le fait que le cercle limite soit isolé montre la lenteur de la convergence.

En mathématiques, la constante de Kepler-Bouwkamp est la limite des rayons d'une suite de cercles concentriques dans lesquels sont inscrits successivement des polygones réguliers dont le nombre de côtés augmente d'une unité à chaque étape, en partant d'un cercle de rayon 1 et d'un triangle inscrit.

Détermination de cette constante

Les premières étapes de la construction sont les suivantes : on inscrit dans un cercle unité $C_1$ un triangle équilatéral, à l'intérieur duquel on inscrit un cercle $C_2$. Dans $C_2$ on inscrit un carré, à l'intérieur duquel on inscrit un cercle $C_3$. Dans $C_3$ on inscrit un pentagone régulier, dans lequel on inscrit un cercle $C_4$, etc.

Le rayon du cercle inscrit dans $C_n$ rapporté à celui du cercle circonscrit est égal à $\cos \frac{\pi }{n}$.

La constante de Kepler-Bouwkamp, limite des rayons des cercles $C_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini est donc égale au produit infini : $R=\prod _{n=3}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)$.

Ce produit infini est bien convergent (même absolument) car $\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)=1-\frac{{\pi }^2}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et la série $\mathrm{\Sigma }(1/n^2)$ est absolument convergente.

Les décimales de ce nombre $R\approx 0,1149420448\dots$forment la Modèle:OEIS.

Origine de la construction

Le modèle d’Univers de Kepler, fondé sur les cinq polyèdres réguliers.

Cette construction provient d'une idée de Kepler qui a un temps pensé qu'avec les premiers cercles l'on pouvait approcher les orbites autour du Soleil de Jupiter, Saturne (cercles $C_1$ et $C_2$) , de Mars et de la Terre (cercles $C_3$ et $C_4$). Pour rendre ce modèle plus conforme aux données astronomiques, il passera de la géométrie plane à la géométrie dans l'espace, substituant aux polygones réguliers des polyèdres réguliers inscrits dans des sphères, utilisant les cinq solides de Platon pour les six planètes connues à l'époque (solides qui approchaient le mieux la perfection divine de la sphère)Modèle:,.Modèle:Clr

Les calculs de Bouwkamp

Dans un article paru en 1965 dans la revue Indagationes Mathematicae, Modèle:Lien donne une valeur approchée de l'inverse $P=\prod _{n=3}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\cos (\frac{\pi }{n})}$ de la constante de Kepler-Bouwkamp. Cette valeur correspond au processus inverse de celui décrit dans cet article : on part d'un cercle unité, que l'on inscrit dans un triangle équilatéral, lui-même inscrit dans un cercle que l'on inscrit dans un carré, etc. et $P$ est la limite des rayons des cercles ainsi obtenus.

Il mentionne d'abord que les mathématiciens Edward Kasner et Modèle:Lien donnent une valeur approchée erronée de $P$, environ égale à 12, dans leur ouvrage Modèle:Lien, paru en 1940.

Il donne ensuite les deux méthodes de calcul employées.

La première utilise la relation que justifie Bouwkamp :

$\ln (\frac{2P}{\pi })=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^{-1}\zeta (2k)2^{2k}(\lambda (2k)-1)$

où

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}$

est la fonction zêta de Riemann et

$\lambda (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(2n+1{)}^{-s}=(1-2^{-s})\zeta (s)$

. À l'aide de tables de valeurs de la zêta, il obtient

$P\approx 8,7000366252081945$

. La deuxième méthode cherche à pallier la lenteur de convergence de la suite de terme général

$\prod _{n=3}^N\frac{1}{\cos (\frac{\pi }{n})}$

. Pour cela, Bouwkamp écrit

$P=RQ$

où

$R=\prod _{n=3}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{g(n)}\text{ et }Q=\prod _{n=3}^{\mathrm{\infty }}\frac{g(n)}{\cos (\frac{\pi }{n})}$

en choisissant

$g(n)$

de sorte que

$R$

soit calculable explicitement et que le produit infini

$Q$

converge rapidement. En prenant

$g(n)=1-\frac{{\pi }^2}{2n^2}+\frac{{\pi }^4}{24n^4}-\frac{{\pi }^6}{720n^6}$

(obtenu par développement asymptotique de

$\cos (\frac{\pi }{n})$

), il obtient

$P\approx 8,7000366252081943$

en utilisant un ordinateur.

Les décimales de $P$ forment la Modèle:OEIS.

Liens externes

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