Développement asymptotique

En mathématiques, un développement asymptotique d'une fonction f donnée dans un voisinage fixé est une somme finie de fonctions de référence qui donne une bonne approximation du comportement de la fonction f dans le voisinage considéré. Le concept de développement asymptotique a été introduit par Poincaré à propos de l'étude du problème à N corps de la mécanique céleste par la théorie des perturbations.

La somme étant finie, la question de la convergence ne se pose pas. On parle parfois par abus de langage de « série asymptotique » pour une somme comprenant une infinité de termes. Cette somme infinie est le plus souvent formelle, car la série est en général divergente.

Analyse asymptotique : comportement équivalent

Introduction

L'analyse asymptotique est une méthode d'analyse qui permet de classer les comportements de fonctions dans un voisinage donné en se concentrant sur certaines « tendances caractéristiques ». On l'exprime en général au moyen d'un équivalent au voisinage considéré. Par exemple, soient deux fonctions complexes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar d'une variable réelle, dont on souhaite étudier le comportement au voisinage d'un point Modèle:Math. On écrira :

$f\underset{\stackrel{x_0}{}}{\sim }g$

pour traduire le fait que :

$\underset{x_0}{\lim }\frac{f}{g}=1$.

Ceci définit une relation d'équivalence entre fonctions, et la classe d'équivalence de la fonction Modèle:Mvar consiste en toutes les fonctions qui possèdent un « comportement similaire » à Modèle:Mvar au voisinage de Modèle:Math. On est ainsi amené à définir un ensemble de fonctions « simples », qui vont servir de référence pour établir des comparaisons. Remarquons tout d'abord qu'on peut toujours se ramener à étudier le voisinage de Modèle:Math. En effet, étudier le comportement de Modèle:Mvar au voisinage de Modèle:Math est équivalent à étudier le comportement de :

$F(x)=f(x_0+\frac{1}{x})\text{et}G(x)=f(x_0-\frac{1}{x})$

au voisinage de Modèle:Math. On peut donc se limiter à un ensemble de fonctions de comparaison dans un voisinage de Modèle:Math.

Fonctions de comparaison

Définitions

On considère comme connues au voisinage de Modèle:Math les fonctions de l'un des types suivant :

• la fonction constante 1 ;
• $x^{\alpha }$, où $\alpha \in {ℝ}^{*}$ ;
• $(\ln x{)}^{\beta }$ où $\beta \in ℝ$ ;
• $\exp (c{x}^{\gamma })$, où $c\in {ℝ}^{*},\gamma \in {ℝ}^{+*}$ ;

ainsi que leurs produits, c’est-à-dire toute fonction de la forme :

$f(x)=x^{\alpha }(\ln x{)}^{\beta }\exp [P(x)]$

où Modèle:Math est de la forme :

$P(x)=\sum _{i=1}^n{c}_i{x}^{{\gamma }_i}({\gamma }_1>{\gamma }_2>\dots >{\gamma }_n>0)$

Propriétés

Si on désigne par Modèle:Mvar l'ensemble de ces fonctions de comparaison, on a les propriétés suivantes :

• Toute fonction de Modèle:Mvar est positive dans un voisinage de Modèle:Math ;
• En dehors de la fonction constante 1, toute fonction de Modèle:Mvar tend soit vers zéro, soit vers Modèle:Math lorsque x tend vers Modèle:Math ;
• Tout produit de fonctions de Modèle:Mvar appartient à Modèle:Mvar ;
• Si Modèle:Mvar appartient à Modèle:Mvar, alors Modèle:Mvar appartient à Modèle:Mvar pour tout Modèle:Mvar réel ;

Les deux dernières propriétés montrent en particulier que le quotient de deux fonctions de Modèle:Mvar appartient à Modèle:Mvar.

Si Modèle:Mvar est une fonction de Modèle:Mvar, on considère également connue toute fonction complexe Modèle:Mvar de la forme Modèle:Math où Modèle:Mvar est un nombre complexe.

Partie principale d'une fonction

Soit Modèle:Mvar la fonction dont le comportement est à analyser au voisinage de Modèle:Math. Si on peut trouver une fonction Modèle:Math de Modèle:Mvar telle que Modèle:Math ait une limite finie Modèle:Math non nulle, on dit que Modèle:Math est la partie principale de Modèle:Mvar par rapport à Modèle:Mvar, et on écrit :

$f\underset{\stackrel{\mathrm{\infty }}{}}{\sim }{c}_1{g}_1\mathrm{o}\mathrm{u}f=c_1{g}_1+o(g_1)$

en utilisant les notations de Landau. En particulier, toute fonction de Modèle:Mvar est égale à sa propre partie principale.

Description

Définition

Supposons que la fonction Modèle:Mvar ait Modèle:Math pour partie principale. On peut alors tenter de mieux préciser le comportement de Modèle:Mvar en cherchant si la différence Modèle:Math n'a pas à son tour une partie principale Modèle:Math. Dans l'affirmative, on écrira :

$f-c_1{g}_1\underset{\stackrel{\mathrm{\infty }}{}}{\sim }{c}_2{g}_2⟺f=c_1{g}_1+c_2{g}_2+o(g_2)$

On peut parfois poursuivre ainsi le développement. On appelle alors développement asymptotique à n termes (ou à l'ordre n) de la fonction Modèle:Mvar par rapport à Modèle:Mvar l'expression :

$f-\sum _{i=1}^{n-1}{c}_i{g}_i\underset{\stackrel{\mathrm{\infty }}{}}{\sim }{c}_n{g}_n⟺f=\sum _{i=1}^n{c}_i{g}_i+o(g_n)$

Si un tel développement existe, il est unique. Le terme Modèle:Math est appelé le reste du développement.

Exemples

• Les exemples les plus simples de développements asymptotiques sont les développements de Taylor (les développements limités à l'ordre n) d'une fonction Modèle:Math qui est n fois dérivable en Modèle:Math :

$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$

• Mais une fonction peut très bien posséder un développement asymptotique dans un voisinage où il n'existe pas de développement de Taylor (ni même de développement limité) ; par exemple, la fonction Modèle:Math ci-dessous admet le développement asymptotique suivant au voisinage de zéro :

$f(x)=\frac{x\ln |x|}{1+\exp x}=\frac{x\ln |x|}{2}-\frac{x^2\ln |x|}{4}+o(x^2\ln |x|)$

alors qu'elle n'admet pas de développement limité (à un ordre supérieur ou égal à 1) en zéro.

• L'existence d'un développement asymptotique à un nombre arbitrairement grand de termes est un cas très particulier. Par exemple, la fonction Modèle:Math ci-dessous ne possède un développement asymptotique au voisinage de l'infini qu'à un seul terme :

$f(x)=x^2+x\sin x=x^2+o(x^2)$

• Parfois même, l'obtention du premier terme du développement est très difficile. Par exemple, soit Modèle:Math le nombre de nombres premiers Modèle:Mvar inférieurs ou égaux à Modèle:Mvar. Gauss avait conjecturé qu'au voisinage de l'infini :

$\pi (x)\underset{\stackrel{x\to \mathrm{\infty }}{}}{\sim }\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}$

Il a fallu un siècle avant qu'une démonstration ne soit produite en 1896 par Hadamard et La Vallée-Poussin.

• La fonction gamma d'Euler admet le développement asymptotique suivant au voisinage de l'infini (voir l’article Formule de Stirling) :

$\frac{{\mathrm{e}}^x}{x^x\sqrt{2\pi x}}\mathrm{\Gamma }(x+1)\underset{\stackrel{x\to \mathrm{\infty }}{}}{=}1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots$

Série asymptotique

Introduction

Pour un développement comprenant une infinité de termes, on parle parfois par abus de langage de « série asymptotique ». Cette somme infinie est le plus souvent formelle, car la série est en général divergente.

Par exemple, pour une fonction Modèle:Mvar lisse au voisinage d'un point Modèle:Math, on peut pousser son développement de Taylor aussi loin que l'on veut. On peut alors se poser le problème de la convergence de la série de Taylor obtenue, et de la relation entre sa somme et la fonction Modèle:Mvar de départ. Ce problème est sans rapport avec le comportement asymptotique de la fonction Modèle:Mvar dans le voisinage de Modèle:Math.

Exemple

Soit la fonction Modèle:Math définie par la série convergente pour Modèle:Math :

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=\frac{1}{1-x}$

La dernière expression de Modèle:Mvar permet d'étendre sa définition à tout le plan complexe privé de Modèle:Math, notamment là où la série originale est divergente. On multiplie alors par Modèle:Math et on intègre ; on obtient formellement :

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-x/t}}{1-x}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n{\mathrm{e}}^{-x/t}\mathrm{d}x\stackrel{x=tu}{=}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(tu{)}^n{\mathrm{e}}^{-u}t\mathrm{d}u=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^{n+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-u}{u}^n\mathrm{d}u=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^{n+1}\mathrm{\Gamma }(n+1).$

où Modèle:Math est la fonction gamma d'Euler. L'intégrale du membre de gauche s'exprime en fonction de l'exponentielle intégrale Modèle:Math, et on obtient alors le développement asymptotique de cette fonction au voisinage de Modèle:Math :

${\mathrm{e}}^{-1/t}\mathrm{Ei}\left(\frac{1}{t}\right)\underset{\stackrel{t\to 0}{}}{\sim }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n!t^{n+1}$

Pour tout Modèle:Mvar non nul, le membre de droite ne converge pas. En revanche, pour Modèle:Mvar non nul « petit », on obtient en tronquant la somme à un nombre fini de termes une bonne représentation de la fonction Modèle:Math. Le changement de variable Modèle:Math et la relation fonctionnelle : Modèle:Math conduit au développement asymptotique :

$x{\mathrm{e}}^x{E}_1(x)\underset{\stackrel{x\to \mathrm{\infty }}{}}{\sim }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}n!}{x^n}$

Annexes

Articles liés

• Développement limité
• Série divergente
• Théorie des perturbations
• Noyau de la chaleur
• Géométrie spectrale

Bibliographie

• Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal, Hermann, Modèle:2e, 1980, Modèle:Isbn
• Modèle:En R. B. Dingle, Asymptotic Expansions: their derivation and interpretation, Academic Press, 1973, Modèle:Isbn
• Modèle:En Modèle:Lien, Asymptotic Expansions, Dover Publications, 1987, Modèle:Isbn
• Modèle:En Edmund Taylor Whittaker et George Neville Watson, A Course in Modern Analysis, Cambridge University Press, Modèle:4e, 1963.
• Modèle:En R. B. Paris et D. Kaminsky, Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001.
• Modèle:En Nicolaas Govert de Bruijn, Asymptotic Methods in Analysis, Dover Publications, 2010, Modèle:Isbn
• Modèle:En Norman Bleistein et Richard A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover Publications, 1987, Modèle:Isbn