Développement limité

Modèle:Voir homonymes En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

• d'une fonction polynomiale ;
• d'un reste négligeable au voisinage du point considéré.

En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine.

En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes. Ils permettent également l'obtention d'équivalents.

Définitions

Soit Modèle:Mvar une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle Modèle:Math, et Modèle:Math. On dit que Modèle:Mvar admet un développement limité d'ordre n (abrégé par DLModèle:Ind) en Modèle:Math, s'il existe Modèle:Math réels Modèle:Math tels que la fonction $R:I\to ℝ$ définie par :

$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+...+a_n(x-x_0{)}^n+R(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i(x-x_0{)}^i+R(x)$ vérifie : Modèle:Math tend vers Modèle:Math lorsque Modèle:Mvar tend vers Modèle:Math, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que : $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R(x)}{(x-x_0{)}^n}=0.$

Les fonctions Modèle:Math vérifiant ceci sont notées Modèle:Math (voir l'article « Comparaison asymptotique », et plus précisément la famille des notations de Landau). On écrit donc :

$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i(x-x_0{)}^i+o((x-x_0{)}^n).$

Il est fréquent d'écrire un développement limité en posant Modèle:Math :

$f(x_0+h)=\sum _{i=0}^n{a}_i{h}^i+o(h^n).$

Conséquences immédiates

• Si Modèle:Math admet un DLModèle:Ind en Modèle:Math, alors Modèle:Math.
• Si Modèle:Math admet un DLModèle:Ind en Modèle:Math, alors elle admet un DLModèle:Ind en Modèle:Math pour tout entier k < n.
• Une condition nécessaire et suffisante pour que Modèle:Mvar admette un DLModèle:Ind en Modèle:Math est l'existence d'un polynôme Modèle:Mvar tel que Modèle:Math. S'il existe un tel polynôme Modèle:Mvar, alors il en existe une infinité d'autres, mais un seul d'entre eux est de degré inférieur ou égal à Modèle:Mvar : le reste de la division euclidienne de Modèle:Math par Modèle:Math. On l'appelle la partie régulière, ou partie principale, du DLModèle:Ind de Modèle:Mvar en Modèle:Math. On identifie parfois, par abus de langage, le DL_n avec sa partie régulière.

Opérations sur les développements limités

Somme

Si f et g admettent deux DL_n en Modèle:Math, alors f + g admet un DL_n en Modèle:Math, dont la partie régulière s'obtient en sommant les deux parties régulières des DL_n de f et g.

Multiplication par un scalaire

Si f admet un DL_n en Modèle:Math, alors λf admet un DL_n en Modèle:Math, dont la partie régulière s'obtient en multipliant la partie régulière du DL_n de f par λ.

Produit

Si f et g admettent deux DL_n en Modèle:Math, de parties régulières respectives P et Q, alors fg et PQ admettent un DLModèle:Ind en Modèle:Math, de même partie régulière.

Si Modèle:Math = 0, cette partie régulière est le reste de la division euclidienne de PQ par Xⁿ⁺¹.

Inverse

Si u(Modèle:Math) = 0 et si u admet un DL_n en Modèle:Math, alors Modèle:Sfrac admet un DL_n. La partie régulière de ce développement limité est celle du DL_n de $\sum _{k=0}^n{u}^k$ en Modèle:Math.

Quotient

On peut combiner le produit et l'inverse, ou faire une division suivant les puissances croissantes de la partie régulière du numérateur par celle du dénominateur.

Composition

Si u admet un DL_n en Modèle:Math de partie régulière P et si v admet un DL_n en u(Modèle:Math) de partie régulière Q, alors v ∘ u et Q ∘ P possèdent un DL_n en Modèle:Math, de même partie régulière.

Modèle:Citation

Si f admet un DL_n en Modèle:Math, $f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i(x-x_0{)}^i+o((x-x_0{)}^n)$, alors toute primitive F de f admet un DL_{n + 1} en Modèle:Math qui est

$F(x)=F(x_0)+\sum _{i=0}^n\frac{a_i}{i+1}(x-x_0{)}^{i+1}+o((x-x_0{)}^{n+1}).$

Dérivation

Il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un DL_n en Modèle:Math pour la dérivée d'une fonction admettant un DL_{n + 1} en Modèle:Math.

Par exemple, en Modèle:Math, la fonction x ↦ xModèle:3sin(1/x) – prolongée par Modèle:Math – admet un DLModèle:Ind (il s'agit de Modèle:Math) mais sa dérivée n'admet pas de DLModèle:Ind.

Par contre, comme déjà dit, si Modèle:Mvar admet un DL_n en Modèle:Math, alors la partie régulière de ce DL est la dérivée de la partie régulière du DL_{n + 1} de F en Modèle:Math.

Développement limité et fonctions dérivables

Modèle:Article détaillé Le théorème de Taylor-Young assure qu'une fonction Modèle:Mvar [[Dérivation itérée|dérivable Modèle:Mvar fois]] au point Modèle:Math (avec $n\ge 1$) admet un DL_n en ce point : Modèle:Retrait soit en écriture abrégée Modèle:Retrait

On le démontre par récurrence sur n, grâce au théorème ci-dessus d'Modèle:Citation terme à terme d'un DL.

L'existence d'un DL₀ en Modèle:Math équivaut à la continuité en Modèle:Math, et l'existence d'un DL₁ en Modèle:Math équivaut à la dérivabilité en Modèle:Math. En revanche, pour $n\ge 2$, l'existence d'un DL_n en Modèle:Math n'implique pas que la fonction soit $n$ fois dérivable en Modèle:Math (par exemple Modèle:Nobr — prolongée par continuité en Modèle:Math — admet, en Modèle:Math, un DLModèle:Ind mais pas de dérivée seconde).

Quelques utilisations

Le développement d'ordre Modèle:Math en Modèle:Math revient à écrire que Modèle:Mvar est continue en Modèle:Math : Modèle:Retrait

Le développement limité d'ordre Modèle:Math en Modèle:Math revient à approcher une courbe par sa tangente en Modèle:Math ; on parle aussi d'approximation affine : Modèle:Retrait Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en Modèle:Math.

Le développement limité d'ordre Modèle:Math en Modèle:Math revient à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique, en Modèle:Math. Il permet de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente au voisinage de Modèle:Math, pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul : le signe de ce coefficient donne en effet cette position (voir également l'article fonction convexe).

Le changement de variable Modèle:Math permet, à l'aide d'un DL₀ en Modèle:Math, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un DL₁ en Modèle:Math, de déterminer l'équation d'une asymptote (comme pour la tangente, le DL₂ permet de préciser la position de la courbe par rapport à l'asymptote).

En faisant une approximation polynomiale de fonction en Modèle:Math, il devient possible, pour un calcul de limite en Modèle:Math, de lever une Forme indéterminée.

Quelques exemples

Fonction cosinus (courbe bleue) et son développement limité d'ordre Modèle:Math en Modèle:Math (courbe noire).

Les fonctions suivantes possèdent des DL_n en Modèle:Math pour tout entier n.

• $\frac{1}{1-x}=\sum _{k=0}^n{x}^k+\frac{x^{n+1}}{1-x}=\sum _{k=0}^n{x}^k+o(x^n)$ (la première égalité se déduit du terme général de la série géométrique).
• [[Logarithme naturel|Modèle:Math]]$=\sum _{k=1}^m\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}{x}^k+o(x^m)$ par intégration de la formule précédente pour n = m – 1, changement de x en –x et changement d'indice k = i + 1
• [[Fonction exponentielle|Modèle:Math]]$=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{x}^k+o(x^n)$ (en utilisant la formule de Taylor)
• [[Fonction sinus|Modèle:Math]]$x=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}{x}^{2k+1}+o(x^{2n+2})$ à l'ordre 2n + 2. La partie principale du DL à l'ordre 2n + 1 est la même car le terme en Modèle:Math est nul (comme tous les termes d'exposant pair) et Modèle:Math.
• [[Fonction cosinus|Modèle:Math]]$x=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{x}^{2k}+o(x^{2n+1})$ à l'ordre 2n + 1. La partie principale du DL à l'ordre 2n est la même, car le terme en Modèle:Math est nul (comme tous les termes d'exposant impair) et Modèle:Math.
• [[Fonction puissance|Modèle:Math]]$=1+\sum _{k=1}^n\frac{1}{k!}(\prod _{l=0}^{k-1}(a-l))x^k+o(x^n).$

Ces exemples sont en outre développables en séries entières.

Formulaire

Plusieurs fonctions usuelles admettent un développement limité en Modèle:Math, qui peuvent être utilisés pour développer des fonctions spéciales :

• [[Fonction puissance|Modèle:Math]]$=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{a(a-1)(a-2)...(a-(n-1))}{n!}{x}^n+o(x^n)$
• $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+o(x^n)$
• $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1{)}^n{x}^n+o(x^n)$
• [[Logarithme naturel|Modèle:Math]]$(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots -\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
• [[Logarithme naturel|Modèle:Math]]$(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
• [[Fonction exponentielle|Modèle:Math]]$=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$
• [[Cosinus|Modèle:Math]]$x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$
• [[Sinus (mathématiques)|Modèle:Math]]$x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$
• [[Fonction tangente|Modèle:Math]]$x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots +\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}+o(x^{2n})$, où les $B_n$ sont les nombres de Bernoulli.
• [[Cosinus hyperbolique|Modèle:Math]]$x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$
• [[Sinus hyperbolique|Modèle:Math]]$x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots +\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$
• [[Tangente hyperbolique|Modèle:Math]]$x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots +\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}+o(x^{2n})$
• [[Arc sinus|Modèle:Math]]$x=x+\frac{x^3}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 3\cdot x^5}{2\cdot 4\cdot 5}+\cdots +\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})$
• [[Arc cosinus|Modèle:Math]]$x=\frac{\pi }{2}-x-\frac{x^3}{2\cdot 3}-\frac{1\cdot 3\cdot x^5}{2\cdot 4\cdot 5}-\cdots -\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})$
• [[Arc tangente|Modèle:Math]]$x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})$
• [[Sinus hyperbolique#Fonction réciproque|Modèle:Math]]$x=x-\frac{x^3}{2\cdot 3}+\cdots +(-1{)}^n\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})$
• [[Tangente hyperbolique#Fonction réciproque|Modèle:Math]]$x=x+\frac{x^3}{3}+\cdots +\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})$

Approximations affines : développements limités d'ordre 1

Modèle:Article détaillé On utilise fréquemment des développements limités d'ordre 1 (encore appelés Modèle:Citation, ou Modèle:Citation), qui permettent de faciliter les calculs, lorsqu'on n'exige pas une trop grande précision ; ils sont donnés, au point Modèle:Math, par :

$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f^{\prime }(x_0)+o(x-x_0)$

(on retrouve l'équation de la tangente au [[Représentation graphique d'une fonction mathématique|graphe de Modèle:Math]]).

En particulier, on a, au point Modèle:Math :

• $(1+x{)}^a=1+ax+o(x)$ et donc
  • $\frac{1}{1+x}=1-x+o(x)$ et
  • $\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}+o(x);$
• $\ln (1+x)=x+o(x);$
• ${\mathrm{e}}^x=1+x+o(x).$

Développements usuels en Modèle:Math de fonctions trigonométriques

• À l'ordre 2 :
  • $\sin x=x+o(x^2)$, $\arcsin x=x+o(x^2)$,
  • $\tan x=x+o(x^2)$, $\arctan x=x+o(x^2)$,Modèle:RetraitModèle:Retrait

Articles connexes

• Série de Taylor
• Interpolation polynomiale
• Développement asymptotique