Exponentielle intégrale

En mathématiques, la fonction exponentielle intégrale, habituellement notée Modèle:Math, est définie par :

Ei : {\begin{matrix} ℝ^{*} \to ℝ \\ x \mapsto Ei (x) = - \int_{- x}^{\infty} \frac{e^{- t}}{t} d t = \int_{- \infty}^{x} \frac{e^{t}}{t} d t . \end{matrix}

Comme l'intégrale de la fonction inverse ( $t \mapsto \frac{1}{t}$ ) diverge en 0, cette définition doit être comprise, si Modèle:Math, comme une valeur principale de Cauchy.

Représentation graphique de la fonction exponentielle intégrale.

Lien avec le logarithme intégral

La fonction Modèle:Math est liée à la fonction Modèle:Math (logarithme intégral) par :

E i (x) = li (e^{x}) .

Développement en série de Modèle:Math

L'exponentielle intégrale a pour développement en série :

Ei (x) = γ + \ln | x | + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k \cdot k!},

où Modèle:Math est la constante d'Euler-Mascheroni.

Les fonctions Modèle:Math

L'exponentielle intégrale est reliée à une autre fonction, notée Modèle:Math définie, pour x > 0, par :

E_{1} (x) = \int_{x}^{\infty} \frac{e^{- t}}{t} d t = - \int_{- \infty}^{- x} \frac{e^{t}}{t} d t .

On dispose alors de la relation, pour Modèle:Math :

E i (- x) = - E_{1} (x) .

Les deux fonctions s'expriment en fonction de la fonction entière définie par :

E i n (x) = \int_{0}^{x} (1 - e^{- t}) \frac{d t}{t} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1} x^{k}}{k k!} .

En effet, on peut montrer que, pour x > 0 :

E_{1} (x) = - γ - \ln (x) + E i n (x)

et

E i (- x) = γ + \ln x - E i n (x) .

La relation donnée pour Modèle:Math permet d'étendre cette fonction sur tout ouvert simplement connexe du plan complexe ne contenant pas 0, en prenant une détermination du logarithme sur ce plan. On prend généralement comme ouvert le plan complexe privé des réels strictement négatifs.

Plus généralement, on définit, pour tout entier n strictement positif, la fonction Modèle:Math par :

E_{n} (x) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{- x t}}{t^{n}} d t = \frac{e^{- x}}{x} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- t}}{{(1 + \frac{t}{x})}^{n}} d t = e^{- x} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- x t}}{(1 + t)^{n}} d t

Ces fonctions sont reliées par la relation :

E_{n} (x) = \frac{e^{- x}}{x} - \frac{n}{x} E_{n + 1} (x)

Calcul de Modèle:Math

La fonction Modèle:Math ne possède pas d’expression à l’aide des fonctions élémentaires usuelles, d’après un théorème dû à Liouville. Différentes méthodes peuvent être utilisées afin de calculer Modèle:Math en double précision.

Pour x compris entre 0 et 2,5

On a :

E_{1} (z) = - γ - \ln z + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1} z^{k}}{k k!} (| \arg z | < π) .

Cette série convergente peut théoriquement être utilisée pour calculer Modèle:Math pour tout réel Modèle:Math mais avec les opérations à virgule flottante, le résultat est inexact pour Modèle:Math à cause de la perte de précision relative quand on soustrait des nombres d'ordres de grandeur différents.

Pour x > 40

Erreur relative de l'approximation asymtotique pour diverses valeurs du nombre N de termes de la somme partielle : N = 1 (rouge), 2 (vert), 3 (jaune), 4 (bleu) et 5 (rose)

Il existe une série divergente permettant d'approcher Modèle:Math pour les grandes valeurs de Modèle:Math, obtenue par intégration par parties^[1], qui donne le développement asymptotique suivant :

E_{1} (z) = \frac{\exp (- z)}{z} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{n!}{(- z)^{n}} + \frac{N!}{(- z)^{N}} E_{N + 1} (z)

avec $E_{N + 1} (z) = o (e^{- z})$ quand z tend vers $+ \infty$ .

Afin d'avoir une précision de 64 bit (double précision), il faut utiliser la valeur Modèle:Math^[2].

Modèle:Clr