Fonction gamma incomplète

Fonction gamma incomplète (seconde définition) pour différentes valeurs de a : 0 (bleu), 1 (rouge), 2 (vert), 3 (orange), 4 (violet)

En analyse mathématique, il existe plusieurs définitions de fonctions gamma incomplètes : pour un paramètre complexe Modèle:Math de partie réelle strictement positive,

$\begin{array}{cc}\gamma (a,x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\\ \mathrm{\Gamma }(a,x)& =\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{a-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=\mathrm{\Gamma }(a)-\gamma (a,x),\\ P(a,x)& =\frac{\gamma (a,x)}{\mathrm{\Gamma }(a)}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(a)}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t}{t}^{a-1}\mathrm{d}t,\\ {\gamma }^{*}(a,x)& =x^{-a}P(a,x)=\frac{x^{-a}}{\mathrm{\Gamma }(a)}\gamma (a,x).\end{array}$

Dérivées

La dérivée de la fonction gamma incomplète Modèle:Math [[Dérivée partielle|par rapport à Modèle:Math]] est l'opposée de l'intégrande de sa définition intégrale :

La dérivée par rapport au paramètre Modèle:Math est donnée par

et la dérivée seconde par

où la fonction Modèle:Math est un cas particulier de la Modèle:Lien

Ce cas particulier possède des propriétés internes de fermeture qui lui sont propres parce qu'il permet d'exprimer toutes les dérivées successives. En général,

où Modèle:Math désigne la factorielle décroissante :

Toutes ces dérivées peuvent être produites à partir de Modèle:Retrait et Modèle:Retrait

Cette fonction Modèle:Math peut être calculée par sa représentation en série, valide pour Modèle:Math :

et pourvu que le paramètre Modèle:Math ne soit pas un entier négatif ou nul. Dans ce dernier cas, on doit employer une limite. Des résultats pour Modèle:Math peuvent être obtenus par prolongement analytique. Quelques cas particuliers de cette fonction peuvent être simplifiés. Par exemple,

où Modèle:Math est l'exponentielle intégrale. Les dérivées et la fonction Modèle:Math fournissent les solutions exactes à un certain nombre d'intégrales par la différentiation répétée de la définition intégrale de la fonction gamma incomplète Modèle:Math. Par exemple,

Cette formule peut être "gonflée" davantage ou généralisée à une classe considérable de transformées de Laplace ou de Mellin. Une fois combinée avec un système de calcul formel, l'exploitation des fonctions spéciales fournit une méthode puissante pour résoudre des intégrales définies, en particulier celles rencontrées par les applications pratiques des ingénieurs.

Voir aussi

• Fonction Q de Marcum

Bibliographie

• Modèle:Chapitre
• Modèle:Chapitre