Fonction Q de Marcum

En statistique, la fonction Q de Marcum $Q_M$ est définie comme

$Q_M(a,b)=\underset{b}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{\left(\frac{x}{a}\right)}^{M-1}\exp (-\frac{x^2+a^2}{2})I_{M-1}(ax)dx$

ou comme

$Q_M(a,b)=\exp (-\frac{a^2+b^2}{2})\sum _{k=1-M}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a}{b}\right)}^k{I}_k(ab)$

où $I_{M-1}$ désigne la fonction de Bessel modifiée d'ordre M − 1. La fonction Q de Marcum est utilisée par exemple comme fonction de répartition (plus précisément, comme fonction de survie) pour les lois du χ non centré, de [[Loi du χ² non centrée|χModèle:2 non centré]] et de Rice.

Pour les valeurs non entières de M, la fonction Q de Marcum peut être définie comme

$\begin{array}{cc}{Q}_M(a,b)& =1-{\mathrm{e}}^{-a^2/2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a^2}{2}\right)}^k\frac{\gamma (M+k,\frac{b^2}{2})}{k!\mathrm{\Gamma }(M+k)}\\ & =1-{\mathrm{e}}^{-a^2/2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a^2}{2}\right)}^k\frac{P(M+k,\frac{b^2}{2})}{k!}\end{array}$

où $P(s,x)$ est la fonction gamma incomplète.

La fonction Q de Marcum est monotone et log-concave .

Références

• Marcum, J. I. (1950) "Table of Q Functions". U.S. Air Force RAND Research Memorandum M-339. Santa Monica, CA: Rand Corporation, Jan. 1, 1950.
• Nuttall, Albert H. (1975): Some Integrals Involving the Q_M Function, IEEE Transactions on Information Theory, 21(1), 95–96, Modèle:ISSN
• Modèle:Mathworld