Loi du χ non centrée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du $\chi$ non centrée est une généralisation la loi du χ. Si $X_i,i=1,\dots ,k$, sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale de moyennes et écart-type respectifs ${\mu }_i,i=1,\dots ,k$ et ${\sigma }_i,i=1,\dots ,k$, alors

$X=\sqrt{\sum _1^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

est une variable aléatoire de loi du $\chi$ non centrée. Cette loi a deux parametres : un entier $k$ qui spécifie le nombre de degrés de liberté (c'est-à-dire le nombre de variables $X_i$), et un réel $\lambda >0$ relatif à la moyenne des variables $X_i$ par la formule :

$\lambda =\sqrt{\sum _1^k{\left(\frac{{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

On dira que X suit une loi du χ non centrée avec k degrés de liberté et de paramètre λ, on notera $X\sim NC{\chi }_k(\lambda )$

Propriétés

La densité de probabilité est donnée par :

$f(x;k,\lambda )=\frac{e^{-(x^2+{\lambda }^2)/2}{x}^k\lambda }{(\lambda x{)}^{k/2}}{I}_{k/2-1}(\lambda x)$

où $I_{\nu }(z)$ est la fonction de Bessel modifiée de première espèce.

Les premiers moments sont :

$\mu {\text{'}}_1=\sqrt{\frac{\pi }{2}}{L}_{1/2}^{(k/2-1)}\left(\frac{-{\lambda }^2}{2}\right)$

$\mu {\text{'}}_2=k+{\lambda }^2$

$\mu {\text{'}}_3=3\sqrt{\frac{\pi }{2}}{L}_{3/2}^{(k/2-1)}\left(\frac{-{\lambda }^2}{2}\right)$

$\mu {\text{'}}_4=(k+{\lambda }^2{)}^2+2(k+2{\lambda }^2)$

où $L_n^{(a)}(z)$ est le polynôme de Laguerre généralisé. Il est à remarquer que le deuxième moment est le même que le n-ième moment de la loi du χ² non centrée où le paramètre $\lambda$ est remplacé par ${\lambda }^2$.

Liens avec d'autres lois

• Si $X$ est une variable aléatoire de loi du χ² non centrée, alors la variable aléatoire $X^2$ est une variable aléatoire de loi du χ non centrée.
• Si $X$ est de loi du χ, $X\sim {\chi }_k$, alors $X$ est également de loi du χ non centrée : $X\sim NC{\chi }_k(0)$. En d'autres termes, la loi du χ est un cas particulier de la loi du χ non centrée avec le paramètre $\lambda =0$.
• La loi du χ non centrée à deux degrés de liberté est similaire à la loi de Rice avec $\sigma =1$.
• Si X suit une loi du χ non centrée avec un degré de liberté et le paramètre λ, alors σX suit une loi normale repliée avec paramètres σλ et σModèle:2 pour toute valeur de σ.

Différentes lois du $\chi$ et ${\chi }^2$

Lois	en fonction de variables de loi normale
loi du χ²	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
loi du χ² non centrée	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
loi du χ	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$
loi du χ non centrée	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$