Loi du χ

Modèle:Infobox Distribution statistiques En théorie des probabilités et en statistique, la loi du $\chi$ (prononcer « khi ») est une loi de probabilité continue. C'est la loi de la moyenne quadratique de k variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite, le paramètre k est le nombre de degrés de liberté. L'exemple le plus courant est la loi de Maxwell, pour k=3 degrés de liberté d'une loi du $\chi$ ; elle modélise la vitesse moléculaire (normalisée).

Si $X_i$ sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale avec pour moyenne ${\mu }_i$ et écart-type ${\sigma }_i$, alors la variable

$Y=\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

est de loi du $\chi$.

Caractérisations

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi du $\chi$ est :

$f(x;k)=\{\begin{array}{cc}\frac{2^{1-\frac{k}{2}}{x}^{k-1}{e}^{-\frac{x^2}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}& \text{ pour }x>0\\ 0& \text{ sinon}\end{array}$

où $\mathrm{\Gamma }(z)$ est la fonction gamma.

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi du $\chi$ est :

$F(x;k)=\{\begin{array}{cc}P(\frac{k}{2},\frac{x^2}{2})& \text{ pour }x>0\\ 0& \text{ sinon}\end{array}$

où $P(k,x)$ est la fonction gamma incomplète (régularisée).

Fonctions génératrices

Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments est donnée par :

$M(t)=M(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{t^2}{2})+t\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{k+1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}M(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{t^2}{2}).$

où M est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.

Fonction caractéristique

La fonction caractéristique est donnée par :

$\phi (t;k)=M(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{-t^2}{2})+it\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{k+1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}M(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{-t^2}{2}).$

où M est encore la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.

Propriétés

Moments

Les moments de la loi du $\chi$ sont donnés par :

${\mu }_j=2^{j/2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{k+j}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}$

où $\mathrm{\Gamma }(z)$ est la fonction gamma. Les premiers moments sont :

${\mu }_1=\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{k+1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}$

${\mu }_2=k$

${\mu }_3=2\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{k+3}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}=(k+1){\mu }_1$

${\mu }_4=k(k+2)$

${\mu }_5=4\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{k+5}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}=(k+1)(k+3){\mu }_1$

${\mu }_6=k(k+2)(k+4)$

où les expressions sont issues de la relation de récurrence de la fonction gamma :

$\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$

à partir de ces expressions, on peut établir les relations suivantes pour l'espérance, la variance, l'asymétrie et enfin le kurtosis :

$\mu =\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{k+1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}$

${\sigma }^2=k-{\mu }^2$

${\gamma }_1=\frac{\mu }{{\sigma }^3}(1-2{\sigma }^2)$

${\gamma }_2=\frac{2}{{\sigma }^2}(1-\mu \sigma {\gamma }_1-{\sigma }^2)$

Entropie

L'entropie est donnée par :

$S=\ln \left(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}(k-\ln (2)-(k-1){\psi }_0\left(\frac{k}{2}\right))$

où ${\psi }_0(z)$ est la fonction polygamma.

Liens avec d'autres lois

• Si $X\sim {\chi }_k(x)$ alors $X^2\sim {\chi }_k^2$, (loi du χ²)
• $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\chi }_k(x)-{\mu }_k}{{\sigma }_k}\stackrel{d}{\to }N(0,1)$, (loi normale)
• Si $X\sim {\chi }_1(x)$ alors $\sigma X\sim HN(\sigma )$, (loi demi-normale) pour tout $\sigma >0$
• ${\chi }_2(x)\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(1)$, (loi de Rayleigh)
• ${\chi }_3(x)\sim \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}(1)$, (loi de Maxwell)
• $\Vert {𝑵}_{i=1,\dots ,k}(0,1)\Vert \sim {\chi }_k(x)$, (la norme de n variables de loi normale est de loi du $\chi$à k degrés de liberté.)
• la loi du $\chi$ est un cas particulier de la loi Gamma généralisée.

Différentes lois du $\chi$ et ${\chi }^2$

Lois	en fonction de variables de loi normale
loi du χ²	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
loi du χ² non centrée	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
loi du χ	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$
loi du χ non centrée	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

Liens externes

• Modèle:Mathworld