Loi du χ² non centrée

Modèle:Infobox Distribution statistiques En théorie des probabilités et en statistique, la loi du Modèle:Math non centrée est une loi de probabilité qui généralise la loi du χ². Cette loi apparait lors de tests statistiques, par exemple pour le maximum de vraisemblance.

Motivations

Soit Modèle:Mvar, k variables aléatoires indépendantes de loi normale de moyennes ${\mu }_i$ et variances ${\sigma }_i^2$. Alors la variable aléatoire

$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$

suit une loi du Modèle:Math non centrée. Elle dépend de deux paramètres : Modèle:Mvar qui spécifie le nombre de degrés de liberté (c'est-à-dire le nombre de Modèle:Mvar), et Modèle:Mvar qui est en lien avec la moyenne des variables Modèle:Mvar par la formule :

$\lambda =\sum _{i=1}^k{\left(\frac{{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2.$

$\lambda$ est parfois appelé le paramètre de décentralisation. Certaines références définissent Modèle:Mvar différemment, comme la moyenne de la somme ci-dessus ou comme sa racine carrée.

Cette loi apparait en statistique multivariée, elle est issue de la loi normale multidimensionnelle. Comme la loi du χ² est le carré de la norme du vecteur aléatoire défini à partir des variables de loi $𝒩(0_k,I_k)$ (c'est-à-dire le carré de la distance entre l'origine et un point donné par cette loi), la loi du Modèle:Math non centrée est le carré de la norme d'un vecteur aléatoire de loi $𝒩(\mu ,I_k)$. Ici Modèle:Math est le vecteur nul de longueur k, $\mu =({\mu }_1,...,{\mu }_k)$ et Modèle:Mvar est la matrice unité de taille k.

Définition

La densité de probabilité est donnée par :

$\{\begin{array}{cc}{f}_X(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda /2}(\lambda /2{)}^i}{i!}{f}_{Y_{k+2i}}(x)& \text{ si }x>0\\ 0& \text{ sinon}\end{array}$

où Modèle:Mvar est de loi du χ² à Modèle:Mvar degrés de liberté.

De cette représentation, la loi du Modèle:Math non centrée est vue comme une loi mélange de loi du ${\chi }^2$. Supposons que la variable J suit une loi de Poisson avec moyenne Modèle:Math, et que la loi conditionnelle de Z sachant Modèle:Math est la loi du Modèle:Math à Modèle:Math degrés de liberté. Alors la loi (non conditionnelle) de Z est la loi du Modèle:Math non centrée à k degrés de liberté, et avec paramètre de décentralisation $\lambda$.

D'une autre part, la densité peut être écrite sous la forme

$f_X(x;k,\lambda )=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-(x+\lambda )/2}{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k/4-1/2}{I}_{k/2-1}(\sqrt{\lambda x})$

où Modèle:Math est la fonction de Bessel modifiée du premier type donnée par

$I_a(y)=(y/2{)}^a\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(y^2/4{)}^j}{j!\mathrm{\Gamma }(a+j+1)}.$

En utilisant la relation entre les fonctions de Bessel et hypergéométrique, la densité peut également être écrite sous la forme :

$f_X(x;k,\lambda )={{\mathrm{e}}^{-\lambda /2}}_0{F}_1(;k/2;\lambda x/4)\frac{1}{2^{k/2}\mathrm{\Gamma }(k/2)}{\mathrm{e}}^{-x/2}{x}^{k/2-1}.$

Siegel (1979) considère plus particulièrement le cas k=0 (0 degré de liberté), dans ce cas la loi est atomique en 0.

Propriétés

Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments est donnée par

$M(t;k,\lambda )=\frac{\exp \left(\frac{\lambda t}{1-2t}\right)}{(1-2t{)}^{k/2}}.$

Moments

Les premiers moments sont :

${\mu }_1^{\text{'}}=k+\lambda$

${\mu }_2^{\text{'}}=(k+\lambda {)}^2+2(k+2\lambda )$

${\mu }_3^{\text{'}}=(k+\lambda {)}^3+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )$

${\mu }_4^{\text{'}}=(k+\lambda {)}^4+12(k+\lambda {)}^2(k+2\lambda )+4(11k^2+44k\lambda +36{\lambda }^2)+48(k+4\lambda )$

Les premiers moments centrés sont :

${\mu }_2=2(k+2\lambda )$

${\mu }_3=8(k+3\lambda )$

${\mu }_4=12(k+2\lambda {)}^2+48(k+4\lambda )$

Le n-ième cumulant est

$K_n=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda ).$

Ainsi

${\mu }_n^{\text{'}}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda )+\sum _{j=1}^{n-1}\frac{(n-1)!2^{j-1}}{(n-j)!}(k+j\lambda ){\mu }_{n-j}^{\text{'}}.$

Fonction de répartition

En utilisant encore la relation entre les lois du Modèle:Math centrée et non centrée, la fonction de répartition peut s'écrire sous la forme

$P(x;k,\lambda )={\mathrm{e}}^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\lambda /2{)}^j}{j!}Q(x;k+2j)$

où Modèle:Math est la fonction de répartition de la loi du Modèle:Math à k degrés de liberté donnée par :

$Q(x;k)=\frac{\gamma (k/2,x/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$

et où Modèle:Math est la fonction gamma incomplète.

La fonction Q de Marcum Modèle:Math peut également être utilisée pour formuler la fonction de répartition :

$P(x;k,\lambda )=1-Q_{\frac{k}{2}}(\sqrt{\lambda },\sqrt{x})$

Approximation

Sankaran propose plusieurs formes approchées de la fonction de répartition. Dans un article précédent, il formule l'expression suivante :

$P(x;k,\lambda )\approx \mathrm{\Phi }\left[\frac{(\frac{x}{k+\lambda }{)}^h-(1+hp(h-1-0.5(2-h)mp))}{h\sqrt{2p}(1+0.5mp)}\right]$

où

$\mathrm{\Phi }(\cdot )$ est la fonction de répartition de la loi normale,

$h=1-\frac{2}{3}\frac{(k+\lambda )(k+3\lambda )}{(k+2\lambda {)}^2},$

$p=\frac{k+2\lambda }{(k+\lambda {)}^2},$

$m=(h-1)(1-3h).$

Cette approximation ainsi que d'autres sont données dans un livre ultérieur.

Pour approcher la loi du Modèle:Math, le paramètre de décentralisation Modèle:Mvar est égal à zéro.

Liens avec d'autres lois

• Si Modèle:Mvar est de loi du χ², $V\sim {\chi }_k^2$, alors $V$ est également de loi du Modèle:Math non centrée : $V\sim {{\chi }^{\prime }}_k^2(0)$.
• Si $V_1\sim {{\chi }^{\prime }}_{k_1}^2(\lambda )$, $V_2\sim {{\chi }^{\prime }}_{k_2}^2(0)$, et Modèle:Math et Modèle:Math sont indépendantes, alors $\frac{V_1/k_1}{V_2/k_2}$ est de loi de Fisher non centrée : $\frac{V_1/k_1}{V_2/k_2}\sim F{\text{'}}_{k_1,k_2}(\lambda )$.
• Si $J\sim 𝒫(\frac{\lambda }{2})$, où $𝒫$ désigne la loi de Poisson, alors ${\chi }_{k+2J}^2\sim {{\chi }^{\prime }}_k^2(\lambda )$
• Approximation par la loi normale : si $V\sim {{\chi }^{\prime }}_k^2(\lambda )$, alors $\frac{V-(k+\lambda )}{\sqrt{2(k+2\lambda )}}\to 𝒩(0,1)$ en probabilité lorsque $k\to \mathrm{\infty }$ ou $\lambda \to \mathrm{\infty }$.

Transformations

Sankaran (1963) étudie les transformations de la forme $z=[(X-b)/(k+\lambda ){]}^{1/2}$. Il analyse le développement des cumulants de Modèle:Mvar de l'ordre de $O((k+\lambda {)}^{-4})$ et montre que les choix suivants de Modèle:Mvar donnent les résultats raisonnables suivants :

• $b=(k-1)/2$ rend le second cumulant de Modèle:Mvar approximativement indépendant de Modèle:Mvar,
• $b=(k-1)/3$ rend le troisième cumulant de Modèle:Mvar approximativement indépendant de Modèle:Mvar,
• $b=(k-1)/4$ rend le quatrième cumulant de Modèle:Mvar approximativement indépendant de Modèle:Mvar.

De plus, une transformation plus simple, $z_1=(X-(k-1)/2{)}^{1/2}$, peut être utilisée comme fonction de stabilisation de variance qui produit une variable aléatoire de moyenne $(\lambda +(k-1)/2{)}^{1/2}$ et de variance $O((k+\lambda {)}^{-2})$.

L'utilisation de ces transformations peut être altérée par le fait de considérer les racines carrées de nombres négatifs.

Différentes lois du Modèle:Mvar et Modèle:Math

Lois	en fonction de variables de loi normale
loi du χ²	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
loi du χ² non centrée	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
loi du χ	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$
loi du χ non centrée	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

Références

• Abramowitz, M. and Stegun, I.A. (1972), Handbook of Mathematical Functions, Dover. Section 26.4.25.
• Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1970), Continuous Univariate Distributions, Volume 2, Wiley. Modèle:ISBN
• Muirhead, R. (2005) Aspects of Multivariate Statistical Theory (2nd Edition). Wiley. Modèle:ISBN
• Siegel, A.F. (1979), "The noncentral chi-squared distribution with zero degrees of freedom and testing for uniformity", Biometrika, 66, 381–386