Loi demi-normale

En théorie des probabilités et en statistique, la loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée.

Soit $X$ une variable aléatoire de loi normale centrée, $X\sim 𝒩(0,{\sigma }^2)$, alors $Y=|X|$ est de loi demi-normale. En particulier, la loi demi-normale est une loi normale repliée de paramètre 0 et $\sigma$.

Caractérisations

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi demi-normale est donnée par :

$f_Y(y;\theta )=\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{\sigma \sqrt{\pi }}\exp (-\frac{y^2}{2{\sigma }^2})& \text{ si }y>0\\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

L'espérance est :

$𝔼[Y]=\mu =\frac{\sigma \sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}$.

En faisant le changement de variable : $\theta =\frac{\sqrt{\pi }}{\sigma \sqrt{2}}$, utile lorsque $\sigma$ est proche de zéro, la densité prend la forme :

$f_Y(y;\theta )=\{\begin{array}{cc}\frac{2\theta }{\pi }\exp (-\frac{y^2{\theta }^2}{\pi })& \text{ si }y>0\\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

L'espérance est alors :

$𝔼[Y]=\mu =\frac{1}{\theta }$.

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi demi-normale est donnée par :

$F_Y(y;\sigma )=\{\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{1}{\sigma }\sqrt{\frac{2}{\pi }}\exp (-\frac{x^2}{2{\sigma }^2})\mathrm{d}x& \text{ si }y>0\\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

En utilisant le changement de variable $z=x/(\sqrt{2}\sigma )$, la fonction de répartition peut s'écrire

$F_Y(y;\sigma )=\{\begin{array}{cc}\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{y/(\sqrt{2}\sigma )}{\int }}\exp (-z^2)\mathrm{d}z=\text{erf}\left(\frac{y}{\sqrt{2}\sigma }\right),& \text{ si }y>0\\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

où Modèle:Math est la fonction d'erreur.

Variance

La variance est :

$\mathrm{Var}(Y)={\sigma }^2(1-\frac{2}{\pi }).$

Puisqu'elle est proportionnelle à la variance ${\sigma }^2$ de X, $\sigma$ peut être vu comme un paramètre d'échelle de cette nouvelle loi.

Entropie

L'entropie de la loi demi-normale est

$H(Y)=\frac{1}{2}\log \left(\frac{\pi {\sigma }^2}{2}\right)+\frac{1}{2}.$

Liens avec d'autres lois

• La loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée avec μ = 0.
• $(\frac{Y}{\sigma }{)}^2$ suit une loi du χ² à un degré de liberté.

Voir aussi

Liens externes

• Modèle:En loi demi-normale sur MathWorld.