Fonction d'erreur

Construction de la fonction d'erreur réelle.

En mathématiques, la fonction d'erreur (aussi appelée fonction d'erreur de Gauss) est une fonction entière utilisée en analyse. Cette fonction se note erf et fait partie des fonctions spéciales. Elle est définie par :

$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t.$

La fonction erf intervient régulièrement dans le domaine des probabilités et statistiques, ainsi que dans les problèmes de diffusion (de la chaleur ou de la matière).

Intérêt de cette fonction

Probabilités et statistiques

La probabilité pour qu'une variable normale centrée réduite X prenne une valeur dans l'intervalle Modèle:Math est :

$\mathrm{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)=\mathbb{P}(X\in [-z,z]).$

La fonction de répartition de X, ou fonction de répartition de la loi normale, usuellement notée Φ, est liée à la fonction d'erreur erf, par la relation :

$\mathrm{\Phi }(z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)]=\mathbb{P}(X\le z),$

ou bien encore :

$\mathrm{erf}(z)=2\mathrm{\Phi }\left(z\sqrt{2}\right)-1.$

Problèmes de diffusion

La fonction d'erreur intervient dans l'expression des solutions de l'équation de la chaleur ou de l'équation de la diffusion, par exemple quand les conditions initiales sont données par la fonction de Heaviside.

Considérons notamment un demi-espace x ≥ 0 occupé par un solide de diffusivité thermique κ et de température initialement uniforme TModèle:Ind. Si à l'instant Modèle:Nobr sa frontière Modèle:Nobr est portée puis maintenue à la température TModèle:Ind, la température T(x,t) à tout instant Modèle:Nobr et en tout point Modèle:Nobr est donnée par :

$T(x,t)=T_2-(T_2-T_1)\mathrm{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{\kappa t}}\right).$

Calcul numérique

L'intégrale ne peut être obtenue à partir d'une formule fermée mais par un développement en série entière (de rayon de convergence infini) intégré termes à termes,

$\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)\times n!}{z}^{2n+1}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+...)$

Il existe des tables donnant des valeurs des intégrales, comme fonctions de z, mais aujourd'hui, la plupart des logiciels de calcul numérique (tableurs, Scilab) ou de calcul formel (comme Maple ou MuPAD) intègrent une routine de calcul de erf(x) et de sa bijection réciproque, inverf(x), encore plus utile en calcul de probabilités.

Toutefois, les approximations suivantes peuvent être utiles :

• En $v(0),\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2}(x+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{4}{15}{x}^5)+o(x^6{\mathrm{e}}^{-x^2})$ (avec une erreur inférieure à 6 × 10Modèle:Exp pour x < 0,5)
• En $v(+\mathrm{\infty }),\mathrm{erf}(x)=1-{\mathrm{e}}^{-x^2}\frac{1}{\sqrt{\pi }}.(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^3}+\frac{3}{4x^5}-\frac{15}{8x^7})+o(x^{-8}{\mathrm{e}}^{-x^2})$ (avec une erreur inférieure à 2 × 10Modèle:Exp pour x > 1,75)
• Pour $x>0,\sqrt{1-{\mathrm{e}}^{-x^2}}\le \mathrm{erf}(x)\le \sqrt{1-{\mathrm{e}}^{-4x^2/\pi }}$

(encadrement proposé par J. T. Chu, 1955 ; la borne supérieure approche partout la fonction erf à moins de 7 × 10Modèle:-3 près).

• Pour $x>0,\mathrm{erf}(x)\simeq 1-{\mathrm{e}}^{-1,9x^{1,3}}$

(approximation proposée par E. Robert, 1996 ; Elle approche partout la fonction erf à moins de 2,2 × 10Modèle:-2 près. L'approximation s'améliore pour être inférieure à 10Modèle:-2 pour $x\ge 1$).

• La fonction $x\mapsto \mathrm{erf}(x)\times {\mathrm{e}}^{x^2}$ est la solution de l'équation différentielle $y^{″}-2x{y}^{\prime }-2y=0$ valant 0 en 0 et de dérivée $\frac{2}{\sqrt{\pi }}$ en 0.

Extensions

Il arrive que la fonction plus générale $E_n$ définie par :

$E_n(z)=n!\underset{0}{\overset{z}{\int }}{\mathrm{e}}^{-{\zeta }^n}\mathrm{d}\zeta$

soit utilisée et E₂ est appelée erreur intégrale.

D'autres fonctions d'erreurs utilisées en analyse, notamment :

• La fonction d'erreur complémentaire notée erfc et définie par :

$\mathrm{erfc}(z)=1-\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-{\zeta }^2}\mathrm{d}\zeta$

• La fonction ierfc, (opposée de l') intégrale de la fonction d'erreur complémentaire erfc :

$\mathrm{ierfc}(z)=\frac{{\mathrm{e}}^{-z^2}}{\sqrt{\pi }}-z\cdot \mathrm{erfc}(z)$

• La fonction d'erreur imaginaire notée erfi est définie par :

$\mathrm{erfi}(z)=\frac{\mathrm{erf}(\mathrm{i}z)}{\mathrm{i}}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}{\mathrm{e}}^{{\zeta }^2}\mathrm{d}\zeta =\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{z^2}D(z)$

où Modèle:Math désigne la fonction de Dawson. Elle n'est souvent définie que dans certains logiciels de calcul formel, tels que Mathematica et Maple. Elle peut néanmoins être décrite à l'aide d'un développement en série entière :

$\mathrm{erfi}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)\times n!}{z}^{2n+1}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}(z+\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}+\frac{z^7}{42}+...).$

• La fonction de Faddeeva est définie par :

$w(z):={\mathrm{e}}^{-z^2}\mathrm{erfc}(-\mathrm{i}z)=\mathrm{erfcx}(-\mathrm{i}z)={\mathrm{e}}^{-z^2}(1+\frac{2\mathrm{i}}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}{\mathrm{e}}^{t^2}\text{d}t).$

Fonction réciproque

Approximations de la fonction d'erreur réciproque (somme jusqu'à k = K).

La fonction d'erreur réciproque intervient parfois dans des formules statistiques. Elle peut être décrite à l'aide d'un développement en série :

${\mathrm{erf}}^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k}{2k+1}{\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}z\right)}^{2k+1}$

où $c_0=1$ et

$c_k=\sum _{m=0}^{k-1}\frac{c_m{c}_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}=\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\dots \}$

On obtient le développement suivant :

${\mathrm{erf}}^{-1}(z)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }(z+\frac{\pi }{12}{z}^3+\frac{7{\pi }^2}{480}{z}^5+\frac{127{\pi }^3}{40320}{z}^7+\frac{4369{\pi }^4}{5806080}{z}^9+\frac{34807{\pi }^5}{182476800}{z}^{11}+\cdots )$

(le rayon de convergence de cette série valant 1, elle ne donne de bonnes valeurs approchées que pour |z|<1/2 par exemple).

Quelques implémentations

$\mathrm{erf}$ est présente nativement dans plusieurs langages comme C++ (C++ 2011 Standard) et Fortran 2008.

Notes et références

• Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)

Voir aussi

Articles connexes

• Loi normale
• Intégrale de Fresnel
• Fonction d'erreur complémentaire

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Modèle:MathWorld
• Modèle:DLMF
• Steven G. Johnson and Joachim Wuttke, libcerf, implementation en C pour argument complexe.