Rayon de convergence

Modèle:Ébauche Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel positif ou [[Droite réelle achevée|Modèle:Math]] égal à la borne supérieure de l'ensemble des modules des nombres complexes où la série converge (au sens classique de la convergence simple):

$R=\sup \{|z|:z\in ℂ,\sum a_n{z}^n\text{ converge simplement }\}\in [0,+\mathrm{\infty }]=\overline{{ℝ}^{+}}.$

Propriétés

Si Modèle:Mvar est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert Modèle:Math de centre Modèle:Math et de rayon Modèle:Mvar. Ce disque est appelé disque de convergence. Cette convergence absolue entraine ce qui est parfois qualifié de convergence inconditionnelle : la valeur de la somme en tout point de ce disque ne dépend pas de l'ordre des termes. Par exemple, on a :

• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{2n}{z}^{2n}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{2n+1}{z}^{2n+1}$ ;
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_k{z}^{n+k}=\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n\right)\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{z}^k\right)\mathrm{\forall }|z|<\min (R_1,R_2)$, où $R_1$ et $R_2$ sont les rayons de convergence des deux séries entières (voir Produit de Cauchy).

Si la série entière $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ a pour rayon de convergence Modèle:Mvar, alors :

• la convergence est même normale (donc uniforme) sur tout compact inclus dans Modèle:Math ;
• pour tout complexe Modèle:Mvar tel que Modèle:Math, la série diverge grossièrement ;
• pour tout complexe Modèle:Mvar tel que Modèle:Math, la série peut soit diverger, soit converger ;
• l'inverse du rayon Modèle:Mvar est donné par le théorème de Cauchy-Hadamard : $\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$, où Modèle:Math désigne la limite supérieure ;
• si Modèle:Mvar est non nul, alors la somme Modèle:Mvar de la série entière est une fonction holomorphe sur Modèle:Math, où l'on a $f^{(k)}(z)=\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{(n-k)!}{a}_n{z}^{n-k}$ ;
• si le rayon Modèle:Mvar est infini, alors la série entière est appelée fonction entière.