Théorème de Cauchy-Hadamard

En mathématiques, le théorème de Cauchy–Hadamard est un résultat d'analyse complexe qui décrit le rayon de convergence d'une série entière. Il a été publié en 1821 par Cauchy mais est resté relativement méconnu jusqu'à sa redécouverte par Hadamard, qui le publia une première fois en 1888 puis l'inclut, en 1892, dans sa thèse.

Cas d'une seule variable complexe

En particulier, si la suite Modèle:Math est non bornée alors Modèle:Math = 0 – c'est-à-dire que la série diverge partout ailleurs qu'en 0 – et si cette suite converge vers 0 alors Modèle:Math – c'est-à-dire que la série converge sur le plan complexe tout entier.

Cas de plusieurs variables complexes

Si α est un multi-indice, c'est-à-dire un n-uplet d'entiers naturels, notons |α| = αModèle:Ind + … + αModèle:Ind. Alors, pour la série entière multidimensionnelle

$\sum _{\alpha \ge 0}{c}_{\alpha }{z}^{\alpha }:=\sum _{{\alpha }_1\ge 0,\dots ,{\alpha }_n\ge 0}{c}_{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n}{z}_1^{{\alpha }_1}\dots z_n^{{\alpha }_n}$,

D(0, ρ) (où ρ est un n-uplet de rayons) est un polydisque maximal de convergence si et seulement si :

$\underset{|\alpha |\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[|\alpha |]{|c_{\alpha }|{\rho }^{\alpha }}=1$.