Loi de Rice

En statistiques et théorie des probabilités, la loi de Rice, nommée d'après Modèle:Lien (1907–1986), est une loi de probabilité à densité (c'est-à-dire continue).

C'est une généralisation de la loi de Rayleigh utilisée pour décrire le comportement d'un signal radio qui se propage selon plusieurs chemins (multitrajet) avant d'être reçu par une antenne.

Caractérisation

Soient deux variables de Gauss centrées, indépendantes, de même variance Modèle:Math. Si on considère qu'elles représentent les deux coordonnées d'un point d'un plan, la distance de ce point à l'origine suit une loi de Rayleigh :

$f(x,\sigma )=\frac{x}{{\sigma }^2}\exp \left(\frac{-x^2}{2{\sigma }^2}\right)$.

En supposant que la distribution est centrée sur un point de coordonnées Modèle:Math (coordonnées polaires Modèle:Math), la densité de probabilité devient :

$f(x|\nu ,\sigma )=\frac{x}{{\sigma }^2}\exp \left(\frac{-(x^2+{\nu }^2)}{2{\sigma }^2}\right)I_0\left(\frac{x\nu }{{\sigma }^2}\right)$

où Modèle:Math est la fonction de Bessel modifiée de première espèce et d'ordre 0.

Propriétés

Moments

Les premiers moments (non centrés) sont :

${\mu }_1=\sigma \sqrt{\pi /2}{L}_{1/2}(-{\nu }^2/2{\sigma }^2)$

${\mu }_2=2{\sigma }^2+{\nu }^2$

${\mu }_3=3{\sigma }^3\sqrt{\pi /2}{L}_{3/2}(-{\nu }^2/2{\sigma }^2)$

${\mu }_4=8{\sigma }^4+8{\sigma }^2{\nu }^2+{\nu }^4$

${\mu }_5=15{\sigma }^5\sqrt{\pi /2}{L}_{5/2}(-{\nu }^2/2{\sigma }^2)$

${\mu }_6=48{\sigma }^6+72{\sigma }^4{\nu }^2+18{\sigma }^2{\nu }^4+{\nu }^6$

$L_{\nu }(x)=L_{\nu }^0(x)=M(-\nu ,1,x)={}_1{F}_1(-\nu ;1;x)$

où, Modèle:Math représente un polynôme de Laguerre et Modèle:Mvar désigne la fonction hypergéométrique confluente.

Pour le cas Modèle:Math :

$L_{1/2}(x)={}_1{F}_1(-\frac{1}{2};1;x)$

$={\mathrm{e}}^{x/2}[(1-x)I_0\left(\frac{-x}{2}\right)-x{I}_1\left(\frac{-x}{2}\right)].$

Généralement les moments sont donnés par

${\mu }_k=s^k{2}^{k/2}\mathrm{\Gamma }(1+k/2)L_{k/2}(-{\nu }^2/2{\sigma }^2),$

où Modèle:Math.

Lorsque Modèle:Mvar est pair, les moments deviennent des polynômes en Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.

Distributions liées

• La variable $r=\sqrt{x^2+y^2}$ suit une loi de Rice $R\sim \mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}(\sigma ,\nu )$ à condition que $X\sim 𝒩(\nu \cos \theta ,{\sigma }^2)$ et $Y\sim 𝒩(\nu \sin \theta ,{\sigma }^2)$ soient deux variables gaussiennes indépendantes.
• Pour obtenir une variable $R\sim \mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}(\nu ,\sigma )$, on peut considérer une autre procédure :

1. Tirer Modèle:Mvar selon une loi de Poisson, de paramètre $\lambda =\frac{{\nu }^2}{2{\sigma }^2}.$
2. Tirer Modèle:Mvar selon une [[Loi du χ²|loi du Modèle:Math]] avec Modèle:Math degrés de liberté.
3. Poser Modèle:Math.

• Si $R\sim \mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}(1,\nu )$ alors Modèle:Math suit une loi du Modèle:Math non centrée, à 2 degrés de liberté et un paramètre de non-centralité Modèle:Math.

Cas limites

Pour de grandes valeurs de l'argument, le polynôme de Laguerre devient :

$L_{\nu }(x)\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{|x{|}^{\nu }}{\mathrm{\Gamma }(1+\nu )}.$

On peut constater que lorsque Modèle:Mvar devient grand ou que Modèle:Mvar devient petit, alors la moyenne devient Modèle:Mvar et la variance Modèle:Math.

Notes et références

• Modèle:En Stephen O. Rice, « Mathematical Analysis of Random Noise », dans Bell System Technical Journal, vol. 24, 1945, Modèle:P.
• Modèle:En I. Soltani Bozchalooi et Ming Liang, « A smoothness index-guided approach to wavelet parameter selection in signal de-noising and fault detection », dans Journal of Sound and Vibration, vol. 308, Modèle:Numéro-2, 2007, Modèle:P. Modèle:Doi
• Modèle:En John G. Proakis, Digital Communications, McGraw-Hill, 2000

Liens externes

• Modèle:En Le site SOCR fournit les ressources suivantes : interactive Rice distribution, Rice simulation, model-fitting and parameter estimation.
• Modèle:En Multipath Reception pour la signification
• Modèle:En Complex Gaussian distribution pour l'aspect mathématique
• Modèle:En MATLAB code for Rice distribution (densité de probabilité, moyenne, variance et génération de nombres aléatoires)