Fonction de Bessel modifiée

Les quatre premières fonctions de Bessel modifiées de première espèce

Les quatre premières fonctions de Bessel modifiées de deuxième espèce

Les fonctions de Bessel modifiées génèrent l'ensemble des solutions de l'équation différentielle

$x^2\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}+x\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-(x^2+n^2)y=0$.

Les fonctions de Bessel modifiées de première espèce IModèle:Sub et de deuxième espèce KModèle:Sub sont reliées à la fonction de Bessel de première espèce JModèle:Sub parModèle:,

$I_n(x)={\mathrm{i}}^{-n}{J}_n(\mathrm{i}x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m!(m+n)!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+n}$,

$K_n(x)=\frac{\pi }{2}\frac{{\mathrm{i}}^n{J}_{-n}(\mathrm{i}x)-{\mathrm{i}}^{-n}{J}_n(\mathrm{i}x)}{\sin (n\pi )}$ lorsque $n\notin \mathbb{Z}$ et

$K_n(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{p\to n}\frac{\pi }{2}\frac{{\mathrm{i}}^p{J}_{-p}(\mathrm{i}x)-{\mathrm{i}}^{-p}{J}_p(\mathrm{i}x)}{\sin (p\pi )}$ lorsque $n\in \mathbb{Z}$

Propriétés de KModèle:Sub

Intégrales

$K_n(z)=\frac{2^n\mathrm{\Gamma }(n+1/2)}{\sqrt{\pi }}{z}^n\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos x}{(z^2+x^2{)}^{n+1/2}}\text{d}x$

$K_n(z)=\frac{\sqrt{\pi }}{2^n\mathrm{\Gamma }(n+1/2)}{z}^n\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x^2-1{)}^{n-1/2}\exp (-zx)\text{d}x$ (pour n > -1/2)

Voir aussi

• Fonction de Bessel
• Fonction de Bessel sphérique