Fraction continue de Rogers-Ramanujan

La fraction continue de Rogers-Ramanujan est une fraction continue généralisée découverte par Modèle:Lien en 1894 et indépendamment par Srinivasa Ramanujan vers 1910, qui est étroitement reliée aux identités de Rogers-Ramanujan ; il est possible d'en donner une forme explicite pour de nombreuses valeurs de son argument.

Représentation par coloration de régions des réduites $A_{400}(q)/B_{400}(q)$ de la fonction $q^{-1/5}R(q)$, où $R(q)$ est la fraction continue de Rogers-Ramanujan.

Définition

Étant données les fonctions G(q) et H(q) apparaissant dans les identités de Rogers-Ramanujan,

$\begin{array}{cc}G(q)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots (1-q^n)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2}}{(q;q{)}_n}=\frac{1}{(q;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^4;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}\\ & =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}\\ & =\sqrt[60]{qj}{}_2{F}_1(-\frac{1}{60},\frac{19}{60};\frac{4}{5};\frac{1728}{j})\\ & =\sqrt[60]{q(j-1728)}{}_2{F}_1(-\frac{1}{60},\frac{29}{60};\frac{4}{5};-\frac{1728}{j-1728})\\ & =1+q+q^2+q^3+2q^4+2q^5+3q^6+\cdots \end{array}$

et

$\begin{array}{cc}H(q)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2+n}}{(1-q)(1-q^2)\cdots (1-q^n)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2+n}}{(q;q{)}_n}=\frac{1}{(q^2;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^3;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}\\ & =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}\\ & =\frac{1}{\sqrt[60]{q^{11}{j}^{11}}}{}_2{F}_1(\frac{11}{60},\frac{31}{60};\frac{6}{5};\frac{1728}{j})\\ & =\frac{1}{\sqrt[60]{q^{11}{(j-1728)}^{11}}}{}_2{F}_1(\frac{11}{60},\frac{41}{60};\frac{6}{5};-\frac{1728}{j-1728})\\ & =1+q^2+q^3+q^4+q^5+2q^6+2q^7+\cdots \end{array}$

où $(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}$ représente le q-symbole de Pochhammer infini, j est le j-invariant, et ₂F₁ est la fonction hypergéométrique (les coefficients des développements en séries entières forment les suites de l'OEIS Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C, respectivement), la fraction continue de Rogers-Ramanujan est

$\begin{array}{cc}R(q)& =\frac{q^{\frac{11}{60}}H(q)}{q^{-\frac{1}{60}}G(q)}=q^{\frac{1}{5}}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}\\ & =\frac{q^{1/5}}{1+\frac{q}{1+\frac{q^2}{1+\frac{q^3}{1+\ddots }}}}\end{array}$

Fonctions modulaires

Si $q=e^{2\pi \mathrm{i}\tau }$, alors $q^{-\frac{1}{60}}G(q)$ et $q^{\frac{11}{60}}H(q)$, ainsi que leur quotient $R(q)$, sont des fonctions modulaires de $\tau$. Comme elles ont des coefficients entiers, la théorie de la multiplication complexe implique que leurs valeurs, lorsque $\tau$ est de la forme $i\sqrt{p/q}$, sont des nombres algébriques qui peuvent être calculés explicitement.

Exemples

$R\left(e^{-2\pi }\right)=\frac{e^{-\frac{2\pi }{5}}}{1+\frac{e^{-2\pi }}{1+\frac{e^{-4\pi }}{1+\ddots }}}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}-\varphi =\sqrt{\varphi +2}-\varphi$

$R\left(e^{-2\sqrt{5}\pi }\right)=\frac{e^{-\frac{2\pi }{\sqrt{5}}}}{1+\frac{e^{-2\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-4\pi \sqrt{5}}}{1+\ddots }}}=\frac{\sqrt{5}}{1+(5^{3/4}(\varphi -1{)}^{5/2}-1{)}^{1/5}}-\varphi$

où $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est le nombre d'or (ces formules figuraient dans la première lettre que Ramanujan avait envoyée à Hardy, et faisaient partie de celles qui avaient stupéfié ce dernier).

Liens avec les formes modulaires

$R(q)$ peut s'exprimer à l'aide de la fonction êta de Dedekind, une forme modulaire de poids 1/2, car on a (en posant $q={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi \tau }$) :

$\frac{1}{R(q)}-R(q)=\frac{\eta (\frac{\tau }{5})}{\eta (5\tau )}+1$

$\frac{1}{R^5(q)}-R^5(q)={\left[\frac{\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}\right]}^6+11${{|}}

Liens avec le j-invariant

Parmi les nombreuses relations vérifiées par le j-invariant, on a

$j(\tau )=\frac{(x^2+10x+5{)}^3}{x}$

où

$x={\left[\frac{\sqrt{5}\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}\right]}^6$

Éliminant le quotient, on peut exprimer j(τ) en termes de $r=R(q)$ :

$\begin{array}{cc}& j(\tau )=-\frac{(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^5+1{)}^3}{r^5(r^{10}+11r^5-1{)}^5}\\ & j(\tau )-1728=-\frac{(r^{30}+522r^{25}-10005r^{20}-10005r^{10}-522r^5+1{)}^2}{r^5(r^{10}+11r^5-1{)}^5}\end{array}$

où le numérateur et le dénominateur sont des invariants polynomiaux de l'icosaèdre. La relation modulaire entre $R(q)$ et $R(q^5)$ a pour conséquence

$j(5\tau )=-\frac{(r^{20}+12r^{15}+14r^{10}-12r^5+1{)}^3}{r^{25}(r^{10}+11r^5-1)}$

Soit $z=r^5-\frac{1}{r^5}$ ; alors

$j(5\tau )=-\frac{{(z^2+12z+16)}^3}{z+11}$

où

$\begin{array}{cc}& z_{\mathrm{\infty }}=-{\left[\frac{\sqrt{5}\eta (25\tau )}{\eta (5\tau )}\right]}^6-11,z_0=-{\left[\frac{\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}\right]}^6-11,z_1={\left[\frac{\eta (\frac{5\tau +2}{5})}{\eta (5\tau )}\right]}^6-11,\\ & z_2=-{\left[\frac{\eta (\frac{5\tau +4}{5})}{\eta (5\tau )}\right]}^6-11,z_3={\left[\frac{\eta (\frac{5\tau +6}{5})}{\eta (5\tau )}\right]}^6-11,z_4=-{\left[\frac{\eta (\frac{5\tau +8}{5})}{\eta (5\tau )}\right]}^6-11\end{array}$

ce qui est le j-invariant de la courbe elliptique $y^2+(1+r^5)xy+r^{5}y=x^3+r^5{x}^2$, paramétrée par les points réguliers de la courbe modulaire $X_1(5)$.

Équation fonctionnelle

On pose désormais systématiquement $r(\tau )=R(q)$, avec q = e^2πiτ. Là où d'autres fonctions modulaires, par exemple le j-invariant, vérifient :

$j(-\frac{1}{\tau })=j(\tau )$

et qu'on a pour la fonction êta de Dedekind :

$\eta (-\frac{1}{\tau })=\sqrt{-i\tau }\eta (\tau )$

l'équation fonctionnelle de la fraction continue de Rogers–Ramanujan met en jeu le nombre d'or $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ :

$r(-\frac{1}{\tau })=\frac{1-\varphi r(\tau )}{\varphi +r(\tau )}$.

On a d'autre part $r(\frac{7+i}{10})=i$.

Équations modulaires

Il y a des relations modulaires entre $R(q)$ et $R(q^n)$, particulièrement élégantes pour certaines petites valeurs premières de n :

Soit $u=R(q)$ et $v=R(q^n)$ ; alors :

Pour $n=2$, $v-u^2=(v+u^2)u{v}^2.$

Pour $n=3$, $(v-u^3)(1+u{v}^3)=3u^2{v}^2.$

Pour $n=5$, $(v^4-3v^3+4v^2-2v+1)v=(v^4+2v^3+4v^2+3v+1)u^5.$

Pour $n=11$, $uv(u^{10}+11u^5-1)(v^{10}+11v^5-1)=(u-v{)}^{12}.$

De plus, on peut remarquer que les facteurs apparaissant pour $n=5$ se retrouvent dans le cas $n=11$, puisque :

$v^{10}+11v^5-1=(v^2+v-1)(v^4-3v^3+4v^2-2v+1)(v^4+2v^3+4v^2+3v+1).$

Autres résultats

Ramanujan a découvert beaucoup d'autres propriétés intéressantes de R(q). Posant $u=R(q^a)$, $v=R(q^b)$, et $\varphi$ le nombre d'or,

si $ab=4{\pi }^2$, alors $(u+\varphi )(v+\varphi )=\sqrt{5}\varphi .$

si $5ab=4{\pi }^2$, alors $(u^5+{\varphi }^5)(v^5+{\varphi }^5)=5\sqrt{5}{\varphi }^5.$

Les puissances de R(q) vérifient également des relations inattendues. Ainsi,

$R^3(q)=\frac{\alpha }{\beta }$

où

$\alpha =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{2n}}{1-q^{5n+2}}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{3n+1}}{1-q^{5n+3}}$

$\beta =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1-q^{5n+1}}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{4n+3}}{1-q^{5n+4}}$

Posant $w=R(q)R^2(q^2)$, on a

$R^5(q)=w{\left(\frac{1-w}{1+w}\right)}^2,R^5(q^2)=w^2\left(\frac{1+w}{1-w}\right)$

Voir aussi

Bibliographie

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Liens externes

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