J-invariant

représentation du j-invariant de Klein sur le disque unité.

Modèle:Titre mis en forme Le j-invariant, parfois appelé fonction j, est une fonction introduite par Felix Klein pour l'étude des courbes elliptiques, qui a depuis trouvé des applications au-delà de la seule géométrie algébrique, par exemple dans l'étude des fonctions modulaires, de la théorie des corps de classes et du monstrous moonshine.

Motivation : birapport et j-invariant

On travaille dans le Modèle:Lien $ℂP^1$. Soient quatre points distincts $a,b,c,d$, leur birapport est :

$(a,b,c,d)=\frac{a-c}{a-d}\cdot \frac{b-d}{b-c}$

Cette quantité est invariante par homographies du plan, mais dépend de l'ordre des quatre nombres considérés.

Par exemple, le birapport de $(m,1,0,\mathrm{\infty })$ peut valoir, selon l'ordre considéré :

$m,1/m,1-m,1-1/m,1/(1-m),m/(m-1)$

Si on cherche à symétriser cette expression, on obtient une quantité qui reste un invariant des transformations projectives, mais ne dépend plus de l'ordre des nombres :

$j(m)=\frac{4}{27}\frac{(1-m+m^2{)}^3}{m^2(1-m{)}^2}$

que l'on appelle le j-invariant. Cette invariance est un premier indice du lien entre le j-invariant et le groupe modulaire.

j-invariant de courbes elliptiques

Soit X une courbe elliptique non singulière sur $ℂP^1$, de forme de Weierstrass :

$X:y^2=x^3+q_{2}x+q_3$

ayant pour discriminant $\mathrm{\Delta }=-4q_2^3-27q_3^2\ne 0$.

Le j-invariant associé est

$j=1728\frac{-4q_2^3}{\mathrm{\Delta }}$

Le j-invariant est une application surjective, qui donne une bijection entre les classes d'isomorphismes des courbes elliptiques sur le plan complexe et les nombres complexes.

La notion de j-invariant se généralise aux courbes trigonales.

Références

• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Chapitre
• Modèle:En Tito Piezas III et Eric Weisstein. j-Function, MathWorld