Voir la source de Arc tangente

{{Voir homonymes|Atan}}
{{Confusion|Arcs tangents}}
{{Infobox Fonction mathématique
 | nom = Fonction arc tangente
 | image = Arctangent.svg
 | légende = Représentation graphique de la fonction arc tangente.
 | notation = <math>\arctan(x)</math>
 | réciproque = <math>\tan(x)</math> sur <math>\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[</math>
 | dérivée = <math>\frac1{1+x^2}</math>
 | primitives = <math>x\, \arctan x-\frac12\ln\left(1+x^2\right) + C</math>
 | ensemble de définition = <math>\R</math>
 | ensemble image = <math>\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[</math>
 | parité = impaire
 | périodicité = 
 | zéro = 0
 | plusinf = <math>\frac\pi2</math>
 | moinsinf = <math>-\frac\pi2</math>
 | maxima = 
 | minima = 
 | asymptotes = <math>y=\frac\pi2</math> en <math>+\infty</math><br ><math>y=-\frac\pi2</math> en <math>-\infty</math>
 | zéros = 
 | points critiques = 
 | points d'inflexion = 
 | points fixes = 
}}

En [[mathématiques]], l’'''arc tangente''' d'un [[nombre réel]] est la valeur d'un [[angle|angle orienté]] dont la [[fonction tangente|tangente]] vaut ce nombre.

La [[fonction (mathématiques)|fonction]] qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en [[radian]]s est la [[fonction réciproque|réciproque]] de la [[Application (mathématiques)#Opération sur les applications|restriction]] de la [[fonction trigonométrique]] tangente à l'intervalle <math>\left]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right[</math>. La notation est '''arctan'''<ref>[http://aalem.free.fr/maths/mathematiques.pdf Extraits] de la norme [[ISO 31]]-11 à l'usage des [[CPGE]], {{p.|6}}.</ref> ou '''Arctan''' <ref>[http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_3_ESR/45/6/programme-MPSI_252456.pdf Programme officiel de l'Éducation nationale] ([[MPSI]], 2013), {{p.|6}}.</ref> (on trouve aussi Atan, arctg en notation française ; atan ou tan{{-1}}, en notation anglo-saxonne (Attention de bien écrire : <math>\frac{1}{\tan x}=(\tan x)^{-1} </math> et non  <math>\tan^{-1}(x)</math>). 

Pour tout réel {{mvar|x}} :
<center><math>y=\arctan x\iff\tan y=x\text{ et }y\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[</math>.</center>

Dans un [[repère cartésien]] [[Base orthonormée|orthonormé]] du plan, la [[courbe représentative]] de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle <math>\left]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right[</math> par une [[Réflexion (mathématiques)|réflexion]] d'axe la droite d'équation {{mvar|1=y = x}} (puisqu'elle en est la fonction réciproque).

== Parité ==
La fonction arctan est [[parité d'une fonction|impaire]], c'est-à-dire que (pour tout réel {{mvar|x}})
{{retrait|<math>\arctan(-x)=-\arctan x</math>.}}

== Dérivée ==
Comme [[Opérations sur les dérivées#Bijection réciproque|dérivée d'une fonction réciproque]], {{math|arctan}} est dérivable et vérifie<ref name=Wikiversité>Pour une démonstration, voir par exemple le [[#Voir aussi|chapitre « Fonction arctan » sur Wikiversité]].</ref> : 
{{retrait|<math>\arctan'(x)=\frac1{1+x^2}</math>.}}

== Développement en série de Taylor ==
Le développement en [[série de Taylor]] de la fonction arc tangente<ref>Connue des anglophones sous le nom de « série de [[James Gregory (mathématicien)|Gregory]] », elle avait en fait été déjà découverte par le [[Mathématiques indiennes|mathématicien indien]] [[Madhava de Sangamagrama|Madhava]] au {{s|XIV}}. Voir l'article {{Lien|trad=Madhava series|Série de Madhava}} pour plus de détails.</ref> est :
:<math>\forall x\in [-1,1]\quad
\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots
</math>.

Cette [[série entière]] [[Série convergente|converge]] vers {{math|arctan}} quand {{math|{{!}}''x''{{!}} ≤ 1}} et {{math|''x'' ≠ ±[[unité imaginaire|i]]}}. La fonction arc tangente est cependant définie sur tout ℝ (et même {{incise|{{cf.}} [[#Fonction réciproque|§ « Fonction réciproque »]]}} sur un domaine du [[plan complexe]] contenant à la fois ℝ et le disque unité fermé privé des deux points {{math|±i}}).

Voir aussi [[Fonction hypergéométrique#Cas particuliers]].

{{Démonstration|
La série entière
<center><math>\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}</math></center>
est nulle en 0, son [[rayon de convergence]] vaut 1, et sa dérivée (sur le [[Boule (topologie)#Définition générale|disque unité ouvert]]) est égale à la [[série géométrique]]
<center><math>\sum_{k=0}^{\infty}(-x^2)^k=\frac1{1+x^2}=\arctan'(x)</math>.</center>
Elle coïncide donc sur ce disque avec la fonction {{math|arctan}}. De plus, d'après la démonstration du [[Série convergente#Test de Dirichlet|test de Dirichlet]] (par [[sommation par parties]]), cette série entière converge uniformément sur le disque unité fermé privé d'un [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] arbitrairement petit de {{math|±i}}. En {{math|±i}}, elle diverge comme la [[série harmonique]].
}}

La fonction {{math|arctan}} peut être utilisée pour calculer des [[Approximation de π|approximations de {{math|π}}]] ; la formule la plus simple, appelée [[formule de Leibniz]], est le cas {{math|1=''x'' = 1}} du développement en série ci-dessus :
: <math>\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\ldots</math>.

== Équation fonctionnelle ==
On peut déduire {{math|arctan(1/''x'')}} de {{math|arctan ''x''}} et inversement, par les [[équation fonctionnelle|équations fonctionnelles]] suivantes :
:<math>\forall x\in\R_+^*\quad\arctan\frac1x+\arctan x=\frac\pi2</math> ;
:<math>\forall x\in\R_-^*\quad\arctan\frac1x+\arctan x=-\frac\pi2</math>.

{{démonstration|titre=Démonstrations|contenu=
Démontrons la première équation (la seconde s'en déduit par [[Parité d'une fonction|imparité]], ou se démontre de même).
*Une première méthode est de vérifier que la [[#Dérivée|dérivée]] est nulle. 
On a en effet :
:<math>\arctan'x=\frac1{1+x^2}</math>
et
:<math>\left(\arctan\frac1x\right)'=\frac{-1}{x^2}~\frac1{1+{\frac1{x^2}}}=\frac{-1}{1+x^2}</math> 
donc
:<math>\left(\arctan\frac1x+\arctan x\right)'=0</math>.

On en déduit que {{math|arctan(1/''x'') + arctan ''x''}} est constante sur {{math|]0, +∞[}}, et l'on trouve facilement la valeur de cette constante en calculant par exemple la valeur prise en {{math|1=''x'' = 1}}.
*Une deuxième méthode est de remarquer que pour tout {{math|''x'' > 0}}, si {{mvar|θ}} désigne l'arctangente de {{mvar|x}} alors
:<math>\frac1x=\frac1{\tan\theta}=\tan\left(\frac\pi2-\theta\right)\qquad\text{et}\qquad0<\frac\pi2-\theta<\frac\pi2,\quad\text{d'où}</math> 
:<math>\arctan\frac1x=\frac\pi2-\theta=\frac\pi2-\arctan x</math>.
*Une troisième méthode est de déduire cette formule de la [[#Formule remarquable|formule remarquable]] ci-dessous en faisant tendre {{mvar|y}} vers {{math|1/''x''}} par valeurs inférieures.
}}

== Fonction réciproque ==
Par définition, la fonction arc tangente est la [[fonction réciproque]] de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle <math>\left]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right[</math> :
{{retrait|<math>\forall x\in\R\quad y=\arctan x\iff\tan y=x\text{ et }y\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[</math>.}}

Ainsi, pour tout réel {{mvar|x}}, {{math|1=tan(arctan ''x'') = ''x''}}. Mais l'équation {{math|1=arctan(tan ''y'') = ''y''}} n'est vérifiée que pour {{mvar|y}} compris entre <math>-\frac\pi2</math> et <math>\frac\pi2</math>.

Dans le plan complexe, la fonction tangente est bijective de {{math|]–π/2, π/2[+i}}ℝ dans ℂ privé des deux demi-droites {{math|]–∞, –1]i}} et {{math|[1, +∞[i}} de l'axe [[Nombre imaginaire pur|imaginaire pur]], d'après son lien avec la fonction [[tangente hyperbolique]] et les propriétés de cette dernière. La définition ci-dessus de arctan s'étend donc en :
{{retrait|<math>\forall x\in\Complex\setminus\big({\rm i}\left(]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\right)\big)\quad y=\arctan x\iff\tan y=x\text{ et }y\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[+{\rm i}~\R</math>.}}

== Logarithme complexe ==
Par construction, la fonction arctangente est reliée à la fonction [[Tangente hyperbolique#Fonction réciproque|argument tangente hyperbolique]] et s'exprime donc, comme elle, par un [[logarithme complexe]] :

:<math>\forall x\in\Complex\setminus\left({\rm i}\left(]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\right)\right)\quad\arctan x=\frac1{{\rm i}}\operatorname{artanh}({\rm i}x)=\frac1{2{\rm i}}\ln\frac{1+{\rm i}x}{1-{\rm i}x}=\frac{\ln(1+{\rm i}x)-\ln(1-{\rm i}x)}{2{\rm i}}</math>.

== Intégration ==

=== Primitive ===
La [[primitive]] de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 s'obtient grâce à une [[intégration par parties]] :
: <math>\int_0^x\arctan t\;\mathrm dt=x\,\arctan x-\frac12\ln\left(1+x^2\right)</math>.

=== Utilisation de la fonction arc tangente ===
{{article détaillé|Primitives de fonctions rationnelles}}
La fonction arc tangente joue un rôle important dans l'[[Intégration (mathématiques)|intégration]] des expressions de la forme 
: <math>\frac1{ax^2+bx+c}</math>
Si le [[discriminant]] {{math|1=''D = b''{{2}} – 4''ac''}} est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une [[fraction partielle]]. Si le discriminant est strictement négatif, on peut faire la substitution par
: <math>u=\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}</math>
qui donne pour l'expression à intégrer
: <math>\frac{4a}{|D|}~\frac1{1+u^2}.</math>
L'intégrale est alors
: <math>\frac2{\sqrt{|D|}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}</math>.

== Formule remarquable ==
Si {{math|''xy'' ≠ 1}}, alors<ref name=Wikiversité/> :
:<math>\arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy}+k\pi</math>
où 
:<math>k=\begin{cases}0&\text{si }xy<1,\\
1&\text{si }xy>1\text{ avec }x\text{ (et }y\text{) }>0,\\
-1&\text{si }xy>1\text{ avec }x\text{ (et }y\text{) }<0.\end{cases}</math>

== Autres utilisations ==
[[File:Quatre fonctions sigmoïdes — four sigmoidal functions.jpg|thumb|Quatre fonctions sigmoïdes (formes canoniques mises à l'échelle par rapport aux valeurs asymptotiques et à la pente à l'origine). La courbe en bleu représente la fonction arc tangente.]]
La ''forme en S'' de cette fonction fait qu'elle fait partie des fonctions dites [[sigmoïde (mathématiques)|sigmoïde]]s{{Citation nécessaire}}. Par rapport à la [[Fonction logistique (Verhulst)|fonction logistique de Verhulst]] et la fonction [[Fonction d'erreur|erf]], elle est celle qui est la plus lisse, c'est-à-dire celle qui est la plus longue à rejoindre ses asymptotes.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|de|Arkustangens und Arkuskotangens|12368166|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
 | commons = Category:Arc tangent function
 | wikiversity=Fonctions circulaires réciproques/Fonction arctan
 | wikiversity titre=Fonction arctan
}}

=== Articles connexes ===
* [[Atan2]]
* [[Fonction circulaire réciproque]]
*[[Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres à tangente rationnelle, dont π|L'arc tangente de tout rationnel non nul est irrationnel.]]
*[[Détermination d'une fonction multivaluée#Arc tangente complexe|Définition de la fonction arc tangente sur les complexes]]

=== Lien externe ===
{{MathWorld|nom_url=InverseTangent|titre=Inverse Tangent}}

{{Palette|Trigonométrie}}
{{Portail|géométrie|analyse}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Fonction trigonométrique]]