Voir la source de Conjecture d'Euler

La '''conjecture d'Euler''' est une [[conjecture]] [[mathématique]] de [[théorie des nombres]], réfutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse [[Leonhard Euler]] en 1772<ref name=Dickson/>{{,}}<ref name=EulerNet>Cf. {{en}} [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/716/ EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers] et son lien vers une page détaillée.</ref>, et qui s'énonce de la façon suivante :
<center>Pour tout [[entier naturel|entier]] <math>n</math> supérieur ou égal à 3, la somme de <math>n-1</math> [[Puissance parfaite|puissances <math>n</math>-ièmes]] strictement positives n'est pas une puissance <math>n</math>-ième.</center>

En d'autres termes, et de manière plus formelle :
<center><math>\forall n \geqslant3, \forall (a_1, \dots, a_{n-1},b) \in(\N^*)^n,\sum_{k=1}^{n-1} {a_k}^n \ne b^n.</math></center>

== Historique ==
Euler percevait cet énoncé comme une généralisation de la [[Dernier théorème de Fermat|conjecture de Fermat]], à savoir que pour tout [[entier naturel|entier]] <math>n</math> supérieur ou égal à 3, la somme de deux puissances <math>n</math>-ièmes n'est pas une puissance <math>n</math>-ième. Les deux énoncés coïncident pour <math>n</math> = 3. Euler ajouta<ref name=Dickson>{{Dickson1}}, {{nobr|vol. 2}}, [https://archive.org/stream/historyoftheoryo02dickuoft#page/648/mode/2up p. 648], citant [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E716.html E716] (1778). Dickson mentionne aussi (note 165) [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E428.html E428] (1772) et (note 167) [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E776.html E776] (1780)</ref> que {{citation|exactement comme il n'existe pas de cubes dont la somme ou la différence soit un cube, il est certain qu'il est impossible  de trouver trois puissances quatrièmes dont la somme soit une puissance quatrième, mais qu'au moins quatre puissances quatrièmes sont nécessaires pour que la somme soit une puissance quatrième, bien que personne n'ait été capable jusqu'à présent de produire ces quatre puissances. De la même façon, il semblerait impossible de trouver quatre puissances cinquièmes dont la somme soit une puissance cinquième, et de même pour les puissances supérieures.}}

La conjecture d'Euler fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966<ref>{{article|langue=en|titre=Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers|prénom=L. J.|nom=Lander|prénom2=T. R.|nom2=Parkin|revue=Bull. Amer. Math. Soc.|vol=72|année=1966|p.=1079|url=http://www.ams.org/journals/bull/1966-72-06/S0002-9904-1966-11654-3}}</ref> grâce au [[contre-exemple]] suivant :

:<math>27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 {{=}} 144^5.</math>

En [[1988]], [[Noam Elkies]] trouva même une méthode<ref>{{article|langue=en|prénom=Noam|nom=Elkies|titre=On ''A''{{4}} + ''B''{{4}} + ''C''{{4}} = ''D''{{4}}|revue=[[Mathematics of Computation|Math. Comp.]]|année=1988|volume=51|numéro=184|p.=825-835|doi=10.2307/2008781}}</ref> pour construire des contre-exemples lorsque <math>n</math> = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant :

:<math>2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4</math>.

Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour <math>n</math> = 4 en utilisant, avec un [[ordinateur]], des techniques suggérées par Elkies :

:<math>95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4</math>.

En 2020, aucun contre-exemple n'est connu pour <math>n\geqslant6</math>.

== Sommes de ''n'' puissances ''n''-ièmes ==
Dans ce cas (correspondant à la résolution d'[[Équation diophantienne|équations diophantiennes]] de la forme <math>a_1^n+\cdots+a_n^n=b^n</math>), il semble y avoir toujours des solutions non triviales, souvent en nombre infini.

=== {{Math|§=''n'' {{=}} 2}} ===
On obtient les [[Triplet pythagoricien|triplets pythagoriciens]], par exemple <math>3^2+4^2=5^2</math>, et plus généralement <math>(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2</math>.

=== {{math|''n'' {{=}} 3}} ===
{{math|3{{exp|3}} + 4{{exp|3}} + 5{{exp|3}} {{=}} 6{{exp|3}}}} ([[nombre de Platon]] 216) ;  c'est le cas correspondant à <math>a = 1, b = 0</math> de la formule due à [[Srinivasa Ramanujan]]<ref name="Weisstein">{{mathworld| nom_url = DiophantineEquation3rdPowers| titre = Diophantine Equation--3rd Powers}}</ref> :<math>(3a^2+5ab-5b^2)^3 + (4a^2-4ab+6b^2)^3 + (5a^2-5ab-3b^2)^3 = (6a^2-4ab+4b^2)^3 .</math>

On peut également paramétrer un cube comme somme de trois cubes par : <math>a^3(a^3+b^3)^3    =    b^3(a^3+b^3)^3+a^3(a^3-2b^3)^3+b^3(2a^3-b^3)^3</math> ou par<ref name="Weisstein" />   <math>a^3(a^3+2b^3)^3    =    a^3(a^3-b^3)^3+b^3(a^3-b^3)^3+b^3(2a^3+b^3)^3.</math>

Anecdotiquement, le nombre {{formatnum:2100000}}<sup>3</sup> peut être exprimé comme somme de trois cubes de neuf façons différentes<ref name="Weisstein" />.

=== {{math|''n'' {{=}} 5|§=''n'' {{=}} 5}} ===

:{{math|19<sup>5</sup> + 43<sup>5</sup> + 46<sup>5</sup> + 47<sup>5</sup> + 67<sup>5</sup> {{=}} 72<sup>5</sup>}} (Lander, Parkin, Selfridge, le plus petit exemple, 1967)<ref name="autogenerated446">{{article|lang=en|prénom1=L. J.|nom1=Lander|prénom2=T. R.|nom2=Parkin|prénom3=J. L.|nom3=Selfridge|titre=A Survey of Equal Sums of Like Powers|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=21|numéro=99|année=1967|doi=10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0|jstor=2003249|pages=446–459|accès doi=libre}}</ref>
:{{math|21<sup>5</sup> + 23<sup>5</sup> + 37<sup>5</sup> + 79<sup>5</sup> + 84<sup>5</sup> {{=}} 94<sup>5</sup>}}  (Lander, Parkin, Selfridge, le second plus petit, 1967)<ref name="autogenerated446" />
:{{math|7<sup>5</sup> + 43<sup>5</sup> + 57<sup>5</sup> + 80<sup>5</sup> + 100<sup>5</sup> {{=}} 107<sup>5</sup>}}  (Sastry, 1934, le troisième plus petit)

=== {{math|''n'' {{=}} 7|§=''n'' {{=}} 7}} ou {{math|8|§=8}} ===
{{math|127<sup>7</sup> + 258<sup>7</sup> + 266<sup>7</sup> + 413<sup>7</sup> + 430<sup>7</sup> + 439<sup>7</sup> + 525<sup>7</sup> {{=}} 568<sup>7</sup>}}  (M. Dodrill, 1999)<ref>{{mathworld|titre=Diophantine Equation--7th Powers |nom_url=DiophantineEquation7thPowers}}</ref>

{{math|90<sup>8</sup> + 223<sup>8</sup> + 478<sup>8</sup> + 524<sup>8</sup> + 748<sup>8</sup> + 1088<sup>8</sup> + 1190<sup>8</sup> + 1324<sup>8</sup> {{=}} 1409<sup>8</sup>}}  (S. Chase, 2000)<ref>{{mathworld|titre=Diophantine Equation--8th Powers |nom_url=DiophantineEquation8thPowers}}</ref>

== Conjecture voisine ==

{{Voir|contenu=Article détaillé : {{Lien|langue=en|trad=Lander, Parkin, and Selfridge conjecture|fr=Conjecture de Lander, Parkin et Selfridge}}.}}
En 1967, Lander, Parkin et [[John Selfridge|Selfridge]] ont conjecturé<ref>{{article|langue=en|titre=A survey of equal sums of like powers|prénom=L. J.|nom=Lander|prénom2=T. R.|nom2=Parkin|prénom3=J. L.|nom3=Selfridge|revue=Math. Comp.|vol=21|année=1967|p.=446-459|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1967-21-099/S0025-5718-1967-0222008-0/}}</ref>{{,}}<ref name=EulerNet/> que si <math>u,v\geqslant1</math> et {{math|''n ''> ''u + v''}}, il n'existe pas d'entiers strictement positifs ''{{math|a{{ind|i}} ≠ b{{ind|j}}}} ''tels que
<center><math>\sum_{i=1}^ua_i^n=\sum_{j=1}^vb_j^n.</math></center>
Cela impliquerait en particulier que
<center><math>\forall n\geqslant4,\forall u\in\{2,\ldots,n-2\},\forall(a_1,\dots,a_u,b)\in(\N^*)^{u+1},\sum_{k=1}^u{a_k}^n\ne b^n.</math></center>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Euler's sum of powers conjecture|292585041|type=note}}
<references/>

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Équation diophantienne]]
* [[Suite de Sidon]]
* {{Lien|langue=en|trad=Jacobi–Madden equation|fr=Équation de Jacobi-Madden}}
* [[Théorème d'Erdős-Suranyi]]

=== Liens externes ===
* {{MathWorld|nom_url=EulerQuarticConjecture|titre=Euler Quartic Conjecture}}
* {{MathWorld|nom_url=DiophantineEquation4thPowers|titre=Diophantine Equation 4th Powers}}

{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Conjecture réfutée|Euler]]
[[Catégorie:Équation diophantienne]]