Conjecture d'Euler

La conjecture d'Euler est une conjecture mathématique de théorie des nombres, réfutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1772Modèle:,, et qui s'énonce de la façon suivante :

Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, la somme de $n-1$ puissances $n$-ièmes strictement positives n'est pas une puissance $n$-ième.

En d'autres termes, et de manière plus formelle :

$\mathrm{\forall }n⩾3,\mathrm{\forall }(a_1,\dots ,a_{n-1},b)\in ({\mathbb{N}}^{*}{)}^n,\sum _{k=1}^{n-1}{a_k}^n\ne b^n.$

Historique

Euler percevait cet énoncé comme une généralisation de la conjecture de Fermat, à savoir que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, la somme de deux puissances $n$-ièmes n'est pas une puissance $n$-ième. Les deux énoncés coïncident pour $n$ = 3. Euler ajouta que Modèle:Citation

La conjecture d'Euler fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966 grâce au contre-exemple suivant :

$27^5+84^5+110^5+133^5=144^5.$

En 1988, Noam Elkies trouva même une méthode pour construire des contre-exemples lorsque $n$ = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant :

$2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4$.

Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour $n$ = 4 en utilisant, avec un ordinateur, des techniques suggérées par Elkies :

$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$.

En 2020, aucun contre-exemple n'est connu pour $n⩾6$.

Sommes de n puissances n-ièmes

Dans ce cas (correspondant à la résolution d'équations diophantiennes de la forme $a_1^n+\cdots +a_n^n=b^n$), il semble y avoir toujours des solutions non triviales, souvent en nombre infini.

Modèle:Math

On obtient les triplets pythagoriciens, par exemple $3^2+4^2=5^2$, et plus généralement $(a^2-b^2{)}^2+(2ab{)}^2=(a^2+b^2{)}^2$.

Modèle:Math

Modèle:Math (nombre de Platon 216) ; c'est le cas correspondant à $a=1,b=0$ de la formule due à Srinivasa Ramanujan :$(3a^2+5ab-5b^2{)}^3+(4a^2-4ab+6b^2{)}^3+(5a^2-5ab-3b^2{)}^3=(6a^2-4ab+4b^2{)}^3.$

On peut également paramétrer un cube comme somme de trois cubes par : $a^3(a^3+b^3{)}^3=b^3(a^3+b^3{)}^3+a^3(a^3-2b^3{)}^3+b^3(2a^3-b^3{)}^3$ ou par $a^3(a^3+2b^3{)}^3=a^3(a^3-b^3{)}^3+b^3(a^3-b^3{)}^3+b^3(2a^3+b^3{)}^3.$

Anecdotiquement, le nombre 2 100 000³ peut être exprimé comme somme de trois cubes de neuf façons différentes.

Modèle:Math

Modèle:Math (Lander, Parkin, Selfridge, le plus petit exemple, 1967)

Modèle:Math (Lander, Parkin, Selfridge, le second plus petit, 1967)

Modèle:Math (Sastry, 1934, le troisième plus petit)

Modèle:Math ou Modèle:Math

Modèle:Math (M. Dodrill, 1999)

Modèle:Math (S. Chase, 2000)

Conjecture voisine

Modèle:Voir En 1967, Lander, Parkin et Selfridge ont conjecturéModèle:, que si $u,v⩾1$ et Modèle:Math, il n'existe pas d'entiers strictement positifs Modèle:Math tels que

$\sum _{i=1}^u{a}_i^n=\sum _{j=1}^v{b}_j^n.$

Cela impliquerait en particulier que

$\mathrm{\forall }n⩾4,\mathrm{\forall }u\in \{2,\dots ,n-2\},\mathrm{\forall }(a_1,\dots ,a_u,b)\in ({\mathbb{N}}^{*}{)}^{u+1},\sum _{k=1}^u{a_k}^n\ne b^n.$

Voir aussi

Articles connexes

• Équation diophantienne
• Suite de Sidon
• Modèle:Lien
• Théorème d'Erdős-Suranyi

Liens externes

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