Puissance parfaite

Représentation graphique du carré puis du cube parfait de 2, ainsi que le carré parfait de 3

En mathématiques, une puissance parfaite est un entier naturel qui peut être exprimé sous la forme d'un carré ou d'une puissance entière supérieure ou égale à 2 d'un entier lui aussi supérieur ou égal à 2. Plus formellement, Modèle:Mvar est une puissance parfaite s'il existe des entiers naturels $a⩾2$, et $k⩾2$ tels que $n=a^k$ . Dans ce cas, Modèle:Mvar est appelé une puissance k-ième parfaite . Si $k=2$ ou $k=3$, Modèle:Mvar est appelé un carré parfait ou un cube parfait. Parfois, 0 et 1 sont également considérés comme des puissances parfaites (puisque $0^k=0$ pour tout $k>0$, $1^k=1$ pour tout $k$).

En tant que nombre figuré, une puissance parfaite (1 y compris), est un nombre hypercubique.

Exemples et sommes

La liste croissante des puissances parfaites (en conservant les répétitions) est donnée par la Modèle:OEIS :

$2^2=4,2^3=8,3^2=9,2^4=16,4^2=16,5^2=25,3^3=27,$ $2^5=32,6^2=36,7^2=49,2^6=64,4^3=64,8^2=64,\dots$

La somme des inverses des puissances parfaites (y compris les doublons tels que $3^4$ et $9^2$, tous deux égaux à 81) est égale à 1 :

$\sum _{a=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a^k}=1,$

ce qui peut se montrer comme suit :

$\sum _{a=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a^k}=\sum _{a=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a^2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a^k}=\sum _{a=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a^2}\left(\frac{a}{a-1}\right)=\sum _{a=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a(a-1)}=\sum _{a=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a})=1.$

La liste croissante des puissances parfaites obtenue en supprimant les répétitions est donnée par la Modèle:OEIS :

(parfois 0 et 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ...

La somme des inverses des puissances parfaites sans répétitions (excluant 1) est :

$\sum _{n\in P}\frac{1}{n}=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0,874464368\dots$

où $P$ est l'ensemble des puissances parfaites, μ est la fonction de Möbius et ζ la fonction zêta de Riemann ; voir la Modèle:OEIS.

Selon Euler, Goldbach a montré (dans une lettre aujourd'hui perdue) que la somme des Modèle:Sfrac où Modèle:Mvar décrit l'ensemble des puissances parfaites, excluant 1 et excluant les répétitions, est égale à 1 :

$\sum _{n\in P}\frac{1}{n-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\cdots =1.$

On trouvera sur la page : théorème de Goldbach-Euler, la "démonstration" originelle de Goldbach, non conforme aux standards actuels de rigueur, ainsi qu'une démonstration se ramenant à la somme des inverses des puissances parfaites avec les répétions données ci-dessus.

Détecter les puissances parfaites

Déterminer si oui ou non un entier naturel donné Modèle:Mvar est une puissance parfaite peut être accompli de différentes manières, avec différents niveaux de complexité. L'une des méthodes les plus simples consiste à considérer toutes les valeurs possibles de k sur chacun des diviseurs de Modèle:Mvar, jusqu'à $k⩽{\log }_{2}n$ . Donc si les diviseurs de $n$ sont $n_1,n_2,\dots ,n_j$ alors une des valeurs $n_1^2,n_2^2,\dots ,n_j^2,n_1^3,n_2^3,\dots$ doit être égal à Modèle:Mvar si Modèle:Mvar est une puissance parfaite.

Cette méthode peut être immédiatement simplifiée en ne considérant que les valeurs premières de l'entier $k$ . En effet, si $n=a^k$ pour un nombre composé $k=dp$ où $p$ est premier, alors cela peut simplement être réécrit sous la forme $n=a^k=a^{dp}=(a^d{)}^p$ . Grâce à ce résultat, la valeur minimale de $k$ est nécessairement première.

Si la factorisation complète de Modèle:Mvar est connue, disons $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_r^{{\alpha }_r}$ où les $p_i$ sont des nombres premiers distincts, alors Modèle:Mvar est une puissance parfaite si et seulement si $\mathrm{pgcd}({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r)>1$ où pgcd désigne le plus grand diviseur commun. Par exemple, considérons $n$ = 2 ⁹⁶ ·3 ⁶⁰ ·7 ²⁴ . Puisque pgcd(96, 60, 24) = 12, Modèle:Mvar est une puissance douzième parfaite (et une puissance sixième, quatrième, un cube et un carré parfaits, puisque 6, 4, 3 et 2 divisent 12).

Écarts entre puissances parfaites

En 2002, le mathématicien roumain Preda Mihăilescu a montré que la seule paire de puissances parfaites consécutives est 2 ³ = 8 et 3 ² = 9, prouvant ainsi la conjecture de Catalan.

La conjecture de Pillai énonce que pour tout entier strictement positif $k$ donné, il n'y a qu'un nombre fini de paires de puissances parfaites dont la différence est $k$ . C'est un problème non résolu.

Voir aussi

• Les nombres primaires (puissances d'un nombre premier)
• Les nombres puissants (où les ${\alpha }_i$ sont $>1$), qui généralisent les puissances parfaites.
• Carré parfait
• Cube parfait
• Puissance quatrième parfaite
• Conjecture d'Euler

Références

• Modèle:Article

Liens externes

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader et Jaume Paradís, Sur une série de Goldbach et Euler, 2004 (Pdf)