Voir la source de Conjecture de Hanna Neumann

En [[mathématiques]] la '''conjecture de Hanna Neumann''' est aujourd'hui un [[théorème]] de la théorie des [[Groupe (mathématiques)|groupes]], [[Conjecture|conjecturé]] par [[Hanna Neumann]] en 1957<ref name=HN57>{{article|lang=en|prénom=Hanna|nom=Neumann|titre=On the intersection of finitely generated free groups. Addendum|revue=Publ. Math. Debrecen|lien périodique=Université de Debrecen#Articles connexes|volume=5|année=1957|p.=128}}</ref> et récemment démontré par Igor Mineyev<ref>{{article|lang=en|prénom=Igor|nom=Mineyev|url=http://annals.math.princeton.edu/2012/175-1/p11/|doi=10.4007/annals.2012.175.1.11|titre=Submultiplicativity and the Hanna Neumann Conjecture|lien périodique=Annals of Mathematics|revue=Ann. of Math.|volume=175|année=2012|numéro=1|p.=393-414}}</ref>{{,}}<ref>{{article|lang=en|prénom=Igor|nom=Mineyev|titre=Groups, graphs, and the Hanna Neumann Conjecture|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#J|revue=JTA|volume=4|année=2012|numéro=1|p.=1-12|url=http://www.math.uiuc.edu/~mineyev/math/art/gr-gr-shnc.pdf}} : nouvelle preuve plus courte, grâce à une suggestion de Warren Dicks – cf {{en}} [http://ldtopology.wordpress.com/2011/08/15/mineyev-and-the-hanna-neumann-conjecture/ Mineyev and the Hanna Neumann Conjecture] sur le site ''Low Dimensional Topology''</ref>{{,}}<ref>{{en}} Joel Friedman, [http://www.math.ubc.ca/~jf/pubs/web_stuff/mehanna.html {{lang|en|Sheaves on Graphs and a Proof of the Hanna Neumann Conjecture}}], 30 avril 2012, [[Université de la Colombie-Britannique|UBC]], a annoncé une autre méthode.</ref> dans sa version renforcée formulée par Walter Neumann en 1990<ref name=WN>{{chapitre|lang=en|prénom=Walter D.|nom1=Neumann|titre=On intersections of finitely generated subgroups of free groups|titre ouvrage=Groups–Canberra 1989|passage=161-170|collection=Lecture Notes in Mathematics|numéro dans collection=1456|éditeur=Springer|lien éditeur=Springer Verlag|année=1990|isbn=3-540-53475-X|url=http://www.math.columbia.edu/~neumann/preprints/genHannahNeumann.pdf}}</ref>. Ce théorème concerne le [[Rang d'un groupe|rang]] (c'est-à-dire le nombre minimal de générateurs) de l'[[Intersection (mathématiques)|intersection]] de deux [[sous-groupe]]s [[Groupe de type fini|de type fini]] d'un [[groupe libre]].

== Histoire ==

La conjecture était motivée par un théorème de 1956 dû à Howson<ref>{{article|lang=en|prénom=A. G.|nom=Howson|titre=On the intersection of finitely generated free groups|revue=J. London Math. Soc.|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#J|volume=29|année=1954|p.=428-434|doi=10.1112/jlms/s1-29.4.428}}</ref>, selon lequel l'intersection de deux sous-groupes de type fini ''H'' et ''K'' d'un groupe libre est un groupe libre de type fini. Plus précisément, on savait déjà que ''H∩K'' est libre ([[théorème de Nielsen-Schreier]]) et Howson montra que si ''H'' et ''K'' sont de rangs ''m, n'' > 0 alors le rang ''s'' de ''H∩K'' vérifie :
<center>''s'' – 1 ≤ 2''mn – m – n'' = 2(''m'' – 1)(''n'' – 1) + ''m'' + ''n'' – 2.</center>

La même année<ref>{{article|lang=en|prénom=Hanna|nom=Neumann|titre=On the intersection of finitely generated free groups|revue=Publ. Math. Debrecen|volume=4|année=1956|p.=186-189}}</ref> et la suivante<ref name=HN57/>, Hanna Neumann améliora cette majoration en montrant que
<center>''s'' – 1 ≤ 2(''m'' – 1)(''n'' – 1),</center>
conjecturant que ce facteur 2 était même superflu, c'est-à-dire que
<center>''s'' – 1 ≤ (''m'' – 1)(''n'' – 1).</center>
Cet énoncé devint connu sous le nom de « conjecture de Hanna Neumann ».

Si ''H'' ou ''K'' est d'[[Indice d'un sous-groupe|indice]] fini, on a égalité<ref name=WN/>{{,}}<ref name=Imrich>{{article|lang=en|prénom1=Wilfried|nom1=Imrich|prénom2=Thomas|nom2=Müller|titre=On Howson's Theorem|revue=Arch. Math.|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#A|volume=62|numéro=3|année=1994|p.=193-198|doi=10.1007/BF01261357}}, [http://s369550579.online.de/at/uploads/tx_pdforder/P69.pdf preprint de W. Imrich]</ref>.

== Conjecture de Hanna Neumann renforcée ==

Si ''H'' et ''K'' sont deux sous-groupes d'un groupe ''G'', ''a'' un élément de ''G'' et ''b'' un élément de sa [[double classe]] ''HaK'', c'est-à-dire un élément de la forme ''hak'' avec ''h∈H'' et ''k∈K'', alors le sous-groupe ''H''&nbsp;∩&nbsp;''bKb''{{exp|–1}} est [[Automorphisme intérieur|conjugué par ''h'']] de ''H''&nbsp;∩&nbsp;''aKa''{{exp|–1}}, donc de même rang. On sait par ailleurs que si ''G'' est libre et si ''H'' et ''K'' sont de rangs ''m'' et ''n'' finis et > 0, il n'existe qu'un nombre fini de classes doubles {{nobr|''Ha''{{ind|1}}''K'', … , ''Ha{{ind|t}}K''}} pour lesquelles ce rang est non nul. Si ''H∩K'' est de rang ''s'' > 0, on a alors<ref name=Imrich/> :
<center><math>s-1\le\sum_{i=1}^t[{\rm rang}(H\cap a_iKa_{i}^{-1})-1]\le2(m-1)(n-1),</math></center>
ce qui rend naturelle la « conjecture de Hanna Neumann renforcée » formulée par Walter Neumann<ref name=WN/> (l'un de ses trois fils) :
<center><math>\sum_{i=1}^t[{\rm rang}(H\cap a_iKa_{i}^{-1})-1]  \le (m-1)(n-1).</math></center>

== Résultats partiels et autres généralisations ==

* En 1971, Burns affina la majoration de Hanna Neumann de 1957 en<ref>{{article|lang=en|prénom=Robert G.|nom=Burns|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN266833020_0119&DMDID=DMDLOG_0026|doi=10.1007/BF01109964|titre=On the intersection of finitely generated subgroups of a free group|revue=[[Mathematische Zeitschrift|Math. Z.]]|volume=119|année=1971|p.=121-130}}</ref>{{,}}<ref>La preuve de Burns est simplifiée dans {{article|lang=en|prénom=Peter|nom=Nickolas|titre=Intersections of finitely generated free groups|revue=Bull. Austral. Math. Soc.|volume=31|année=1985|p.=339-348|url=http://journals.cambridge.org/action/displayFulltext?type=1&fid=4764392&jid=BAZ&volumeId=31&issueId=03&aid=4764384}} et {{article|lang=en|prénom=Brigitte|nom=Servatius|titre=A short proof of a theorem of Burns|revue=Math. Z.|volume=184|année=1983|p.=133-137|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN266833020_0184&DMDID=DMDLOG_0016|doi=10.1007/BF01162012}}, et sa majoration est améliorée en ''s'' – 1 ≤ 2(''m'' – 1)(''n'' – 1) – min(''j''(''m'' – 1), ''i''(''n'' – 1)), où ''j'' et ''i'' désignent les indices respectifs de ''H'' et ''K'', dans {{article|lang=en|prénom1=R. G.|nom1=Burns|prénom2=Wilfried|nom2=Imrich|prénom3=Brigitte|nom3=Servatius|titre=Remarks on the intersection of finitely generated subgroups of a free group|revue=Canad. Math. Bull.|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#C|volume=29|année=1986|p.=204-207|url=http://cms.math.ca/cmb/v29/cmb1986v29.0204-0207.pdf}}.</ref><center>''s'' – 1 ≤ 2(''m'' – 1)(''n'' – 1) – min(''m'' – 1, ''n'' – 1).</center>
* En 1990, Walter Neumann<ref name=WN/> précisa le résultat de Burns en démontrant que (avec les notations ci-dessus)<center><math>\sum_{i=1}^t[{\rm rang}(H\cap a_iKa_i^{-1})-1]\le2(m-1)(n-1)-\min(m-1,n-1)</math></center> et formula la conjecture renforcée (voir [[#Conjecture de Hanna Neumann renforcée|ci-dessus]]).
* En 1992, [[Gábor Tardos]]<ref>{{article|lang=en|prénom=Gábor|nom=Tardos|titre=On the intersection of subgroups of a free group|doi=10.1007/BF02100597|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN356556735_0108&DMDID=DMDLOG_0011|revue=Invent. Math.|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#I|volume=108|année=1992|numéro=1|p.=29-36}}</ref> établit cette conjecture renforcée dans le cas où ''m'' ou ''n'' est égal à 2. Comme dans la plupart des approches de cette conjecture<ref>Voir par exemple {{article|lang=en|prénom=Richard Peabody|nom=Kent|revue=Algebraic & Geometric Topology|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#A|volume=9|année=2009|p.=305–325|titre=Intersections and joins of free groups}}, {{arxiv|0802.0033}} et sa bibliographie.</ref>, il utilisait une technique de [[théorie géométrique des groupes]] : celle des [[Graphe de groupes|graphes de sous-groupes]] de [[John R. Stallings|Stallings]]<ref>{{article|lang=en|prénom=John R.|nom=Stallings|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN356556735_0071&DMDID=DMDLOG_0030|doi=10.1007/BF02095993|titre=Topology of finite graphs|revue=Invent. Math.|volume=71|année=1983|numéro=3|p.=551-565}}</ref>.
* En 1994, Warren Dicks<ref>{{article|lang=en|prénom=Warren|nom=Dicks|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN356556735_0117&DMDID=DMDLOG_0031|doi=10.1007/BF01232249|titre=Equivalence of the strengthened Hanna Neumann conjecture and the amalgamated graph conjecture|revue=Invent. Math.|volume=117|année=1994|numéro=3|p.=373-389}}</ref> reformula la conjecture renforcée en termes de [[théorie des graphes]].
* En 2000, Goulnara Arzhantseva<ref>{{article|lang=en|prénom=G. N.|nom=Arzhantseva|url=http://www.ams.org/proc/2000-128-11/S0002-9939-00-05508-8/home.html|titre=A property of subgroups of infinite index in a free group|lien périodique=Proceedings of the American Mathematical Society|revue=Proc. Amer. Math. Soc.|volume=128|année=2000|p.=3205-3210}}</ref> démontra que si ''H'' est un sous-groupe de type fini et d'indice infini d'un groupe libre ''G'' alors, pour une classe « générique » – en un certain sens statistique – de sous-groupes ''K'' de ''G'' de type fini, tous les ''H''&nbsp;∩&nbsp;''aKa''{{exp|–1}} sont [[Groupe trivial|triviaux]]. Ainsi, pour tout sous-groupe de type fini ''H'' de ''G'', la conjecture renforcée est vérifiée pour des ''K'' génériques.
* En 2001, Dicks et {{Lien|langue=en|fr=Edward W. Formanek|texte=Formanek}}<ref>{{article|lang=en|prénom1=Warren|nom1=Dicks|prénom2=Edward|nom2=Formanek|titre=The rank three case of the Hanna Neumann conjecture|revue=J. Group Theory|volume=4|année=2001|numéro=2|p.=113-151|doi= 10.1515/jgth.2001.012|url=http://www.degruyter.com/dg/viewarticle.fullcontentlink:pdfeventlink/contentUri?t:ac=j$002fjgth.2001.4.issue-2$002fjgth.2001.012$002fjgth.2001.012.xml}}</ref> utilisèrent l'équivalence établie par Dicks en 1994 pour prouver la conjecture renforcée dans le cas où ''m'' ou ''n'' est inférieur ou égal à 3.
* En 2002, Bilal Khan<ref>{{chapitre|lang=en|prénom=Bilal|nom1=Khan|titre=Positively generated subgroups of free groups and the Hanna Neumann conjecture|titre ouvrage=Combinatorial and Geometric Group Theory|passage=155-170|collection=Contemporary Mathematics|numéro dans collection=296|lien éditeur=American Mathematical Society|éditeur=AMS|année=2002|isbn=978-0-8218-2822-9|url=http://www.systemic-inquiry.com/pdf/16.pdf}}</ref> et, indépendamment, John Meakin et Pascal Weil<ref>{{article|lang=en|prénom1=J.|nom1=Meakin|prénom2=P.|nom2=Weil|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.32.3263&rep=rep1&type=pdf|doi=10.1023/A:1020900823482|titre=Subgroups of free groups: a contribution to the Hanna Neumann conjecture|revue=[[Geometriae Dedicata]]|volume=94|année=2002|p.=33-43}}</ref> prouvèrent la conjecture renforcée dans le cas où l'un des deux sous-groupes ''H'' ou ''K'' du groupe libre ''G'' est « positivement engendré », c'est-à-dire engendré par un ensemble fini d'éléments qui sont produits seulement de générateurs de ''G'', et pas de leurs inverses.
* Sergei Ivanov<ref>{{article|lang=en|prénom=S. V.|nom=Ivanov|titre=Intersecting free subgroups in free products of groups|revue=IJAC|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#I|volume=11|année=2001|numéro=3|p.=281-290|doi=10.1142/S0218196701000267}}</ref>{{,}}<ref>{{article|lang=en|prénom=S. V.|nom=Ivanov|titre=On the Kurosh rank of the intersection of subgroups in free products of groups|revue=Adv. Math.|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#A|volume=218|année=2008|numéro=2|p.=465-484|doi=10.1016/j.aim.2008.01.003}}</ref>, puis Dicks et Ivanov<ref>{{article|lang=en|prénom1=Warren|nom1=Dicks|prénom2=S. V.|nom2=Ivanov|titre=On the intersection of free subgroups in free products of groups|revue=Math. Proc. Cambridge Phil. Soc.|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#M|volume=144|année=2008|numéro=3|p.=511-534}}. {{arxiv|math/0702363}}</ref>, ont obtenu des analogues et des généralisations des résultats de Hanna Neumann pour des intersections de deux sous-groupes d'un [[produit libre]] de plusieurs groupes.
* En 2005 – donc avant que la conjecture de Hanna Neumann renforcée soit démontrée – [[Daniel Wise]]<ref>{{article|lang=en|prénom=Daniel T.|nom=Wise|titre=The Coherence of One-Relator Groups with Torsion and the Hanna Neumann Conjecture|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#B|revue=Bull. London Math. Soc.|volume=37|année=2005|numéro=5|p.=697-705|url=http://www.gidon.com/dani/tl.cgi?athe=pspapers/HNCoherence.ps|doi=10.1112/S0024609305004376}}</ref> a prouvé qu'elle implique une autre conjecture<ref>{{chapitre|lang=en|nom1=[[Gilbert Baumslag]]|titre=Some problems one one-relator groups|titre ouvrage=Proc. Second Internat. Conf. Theory of Groups|collection=Lecture Notes in Mathematics|éditeur=Springer|année=1974|numéro dans collection=372|passage=75-81|doi=10.1007/BFb0065160}}, {{doi|10.1007/BFb0065160}}
</ref> en théorie des groupes qui résistait depuis longtemps, selon laquelle tout [[Présentation d'un groupe|groupe à un relateur]] 〈 ''a''{{ind|1}}, ''a''{{ind|2}}, … | ''W{{exp|n}}'' 〉 avec ''n'' ≥ 2 est « cohérent », c'est-à-dire que tous ses sous-groupes de type fini sont [[Présentation d'un groupe#Définition formelle|de présentation finie]].

== Références ==
{{reflist}}
{{Traduction/Référence|en|Hanna Neumann conjecture|469649625|type=note}}

{{Portail|Algèbre}}

[[Catégorie:Théorème de la théorie des groupes|Neumann]]
[[Catégorie:Conjecture démontrée|Neumann]]