Voir la source de Consistance (mathématiques)

{{homon|Consistance}}
{{Ébauche|mathématiques}}
{{Confusion|texte=Ne pas confondre avec la consistance en [[logique mathématique]] : voir par exemple [[Théorie des modèles]] ou [[Cohérence (logique)]].}} 
En [[analyse numérique]], la '''consistance''' d’un '''[[Méthode des différences finies#Schéma numérique|schéma numérique]]''' aux [[Différence finie|différences finies]] est une [[propriété locale]] de l’algorithme qui en découle. Elle concerne essentiellement la capacité du schéma à représenter une solution régulière satisfaisant localement les [[équations aux dérivées partielles]], ceci lorsque les [[Méthode des différences finies#Maillage|pas de discrétisation]] (discrétisation en temps, en espace, {{etc.}}) tendent tous vers 0. Plus précisément, si les ''données'' d’une étape du traitement algorithmique sont issues d’une solution exacte, les ''résultats'' de ce traitement tendent vers cette solution.

La ''consistance'' est une propriété distincte de la ''convergence'', cette dernière étant de portée globale. Sous certaines hypothèses (et en particulier celle de la ''consistance''), le [[théorème de Lax]] montre que la [[Stabilité d'un schéma numérique|stabilité]] est une [[Équivalence logique|condition nécessaire et suffisante]] pour assurer la convergence.

== Définition pour une EDO ==

On considère une équation différentielle ordinaire (EDO) de la forme :
{{retrait|<math>y'(t)=f(t,y(t)), \ \forall t \in [0,T],</math>}}
qu'on essaie de résoudre numériquement par un schéma de la forme
{{retrait|<math>y_{n+1}=y_n + \Delta t_n\Phi(t_n,y_n,\Delta t_n), \forall n \in [0,N].</math>}}
avec {{math|''t''<sub>0</sub>,..., ''t''<sub>''N''+1</sub>}} une subdivision de {{math|[0 , ''T'']}} et {{math|Δ''t<sub>n</sub>''{{=}}''t''<sub>''n''+1</sub>-''t<sub>n</sub>''}}.

L’''erreur de consistance'' relative à une solution exacte {{mvar|z}} de l'équation est donnée par :
{{retrait|<math>e_n=z(t_{n+1})-y_{n+1}=z(t_{n+1})-z(t_n)-\Delta t_n \Phi(t_n,z(t_n),\Delta t_n), \forall n \in [0,N].</math>}}

== La consistance dans le théorème de Lax ==

Considérons un problème supposé être [[problème bien posé|bien posé]] qui modélise un système évolutif caractérisé par :
* une [[condition initiale]] précisant son ''état d’origine'' (variables spatiales en {{math|''t'' {{=}} 0}}, soit {{math|''U'' (''x'',0) {{=}} ''U''{{ind|0}}(''x'')}}) ;
* des équations aux dérivées partielles du type
:<math>\partial_t U (x,\,t) = D \, U(x,\,t)</math> où {{mvar|D}} est un [[opérateur différentiel]] relatif aux variables spatiales ;
* des [[Condition aux limites|conditions de bord]] auxquelles est soumis l’état du système au cours de son évolution.

Dans ce contexte, un schéma numérique procède de la manière suivante :
* Discrétisation des variables spatiales (pas {{math|Δ''x''}}) pour établir une approximation numérique de l’''état d’origine''.
* Discrétisation de la variable temporelle (sur {{math|[0 , ''T'']}} avec un pas {{math|Δ''t''}}) pour entreprendre un processus se déroulant par étapes successives au cours desquelles l’état numérique se transforme.

Notons {{math|''C''(Δ''t'')}} l’opérateur de modification de l’état discret au cours d’une étape, ceci en supposant une relation liant {{math|Δ''x''}} à {{math|Δ''t''}} qui contraint {{math|Δ''x''}} à converger vers 0 lorsque {{math|Δ''t''}} fait de même.

La consistance exige que, pour une fonction {{math|''u''(''x'')}} régulière, alors {{math|''C''(Δ''t'')''u – u''}} soit une bonne approximation de {{math|Δ''t Du''}}, ceci au sens de la <math>\|.\|_\infty</math> définie par <math>\|v\|_\infty = \text{sup} \,v(x)</math>.

{{énoncé|2='''La consistance est définie par la propriété suivante''' <ref>{{Article|lang=en|auteur=P. D. Lax, R.D. Richtmyer|titre=Survey of the stability of linear finite difference equations|périodique=[[Communications on Pure and Applied Mathematics|Comm. Pure Appl. Math.]]|volume=9|année=1956|pages=267-293|url=http://math.berkeley.edu/~wilken/228B.S07/LaxRichtmyer.pdf|doi=10.1002/cpa.3160090206}}</ref> :
:Pour toute solution régulière {{math|''u''(''x'',''t'')}}, alors
::<math>\lim_{\Delta t \to 0} \left\| \left( \frac{C(\Delta t) \, - \, I}{\Delta t} \, - \, D \right) \,u(., \, t) \right\|_\infty = 0</math>
:et la convergence est uniforme sur <math>0 \leqslant t \leqslant T</math>.

}}

== Références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==

* [[Théorème de Lax]]
* [[Stabilité d'un schéma numérique]]

{{Portail|Analyse}}

[[Catégorie:Analyse numérique]]