Consistance (mathématiques)
Modèle:Homon Modèle:Ébauche Modèle:Confusion En analyse numérique, la consistance d’un schéma numérique aux différences finies est une propriété locale de l’algorithme qui en découle. Elle concerne essentiellement la capacité du schéma à représenter une solution régulière satisfaisant localement les équations aux dérivées partielles, ceci lorsque les pas de discrétisation (discrétisation en temps, en espace, Modèle:Etc.) tendent tous vers 0. Plus précisément, si les données d’une étape du traitement algorithmique sont issues d’une solution exacte, les résultats de ce traitement tendent vers cette solution.
La consistance est une propriété distincte de la convergence, cette dernière étant de portée globale. Sous certaines hypothèses (et en particulier celle de la consistance), le théorème de Lax montre que la stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour assurer la convergence.
Définition pour une EDO
On considère une équation différentielle ordinaire (EDO) de la forme : Modèle:Retrait qu'on essaie de résoudre numériquement par un schéma de la forme Modèle:Retrait avec Modèle:Math une subdivision de Modèle:Math et Modèle:Math.
L’erreur de consistance relative à une solution exacte Modèle:Mvar de l'équation est donnée par : Modèle:Retrait
La consistance dans le théorème de Lax
Considérons un problème supposé être bien posé qui modélise un système évolutif caractérisé par :
- une condition initiale précisant son état d’origine (variables spatiales en Modèle:Math, soit Modèle:Math) ;
- des équations aux dérivées partielles du type
- où Modèle:Mvar est un opérateur différentiel relatif aux variables spatiales ;
- des conditions de bord auxquelles est soumis l’état du système au cours de son évolution.
Dans ce contexte, un schéma numérique procède de la manière suivante :
- Discrétisation des variables spatiales (pas Modèle:Math) pour établir une approximation numérique de l’état d’origine.
- Discrétisation de la variable temporelle (sur Modèle:Math avec un pas Modèle:Math) pour entreprendre un processus se déroulant par étapes successives au cours desquelles l’état numérique se transforme.
Notons Modèle:Math l’opérateur de modification de l’état discret au cours d’une étape, ceci en supposant une relation liant Modèle:Math à Modèle:Math qui contraint Modèle:Math à converger vers 0 lorsque Modèle:Math fait de même.
La consistance exige que, pour une fonction Modèle:Math régulière, alors Modèle:Math soit une bonne approximation de Modèle:Math, ceci au sens de la définie par .