Voir la source de Constante de Mills

En [[mathématiques]], la '''constante de Mills''' est définie comme étant le plus petit [[nombre réel]] {{Mvar|A}} tel que la [[partie entière]] de {{Mvar|A}}{{exp|3{{exp|''n''}}}} soit un [[nombre premier]], pour tout [[Entier naturel|entier]] {{Mvar|n}} strictement positif. Sous l'[[hypothèse de Riemann]],

<center><math>A=1{,}30637788386\ldots</math><ref>
{{en}} Suite {{OEIS2C|id=A051021}} de l'[[OEIS]].</ref>{{,}}<ref name =Caldwell2005>
{{article|lang=en|auteur=Chris K. Caldwell|auteur2=Yuanyou Cheng|titre=Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#J|J. Integer Seq.]]|vol=8|année=2005|numéro=05.4.1|url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Caldwell/caldwell78.html}}.</ref>.</center>

== Théorème de Mills ==
{{énoncé|Il existe un nombre réel ''A'', la constante de Mills, tel que, pour tout entier ''n'' > 0, la partie entière de ''A''{{exp|3{{exp|''n''}}}} soit un nombre premier<ref>{{Article|lang=en|titre=A prime-representing function|auteur=William H. Mills|revue=[[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]]|année=1947|p.=604 et 1196|url=http://www.ams.org/journals/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08849-2}}.</ref>.}}

Ce théorème a été démontré en [[1947]] par le mathématicien [[William H. Mills]] ; par la suite, plusieurs mathématiciens ont calculé le plus petit {{Mvar|A}} convenable en supposant qu’il y a toujours un nombre premier entre deux cubes consécutifs, ce qui est une conséquence de l'[[hypothèse de Riemann]]<ref name=Caldwell2005/>. 

== Nombres premiers de Mills ==
Les nombres premiers générés par la constante de Mills sont appelés les nombres premiers de Mills. Si l'hypothèse de Riemann est vraie, cette suite (''f{{ind|n}}'') est :
:[[2 (nombre)|2]], [[11 (nombre)|11]], [[Nombres 1 000 à 1 999#1 250-1|1 361]], {{nombre|2 521 008 887}}, {{nombre|16022236204009818131831320183}}{{etc.}} ({{OEIS|id= A051254}}),
ou encore : ''f''{{ind|''n''+1}} = ''f{{ind|n}}''{{3}} + ''b{{ind|n}}'' où la suite (''b{{ind|n}}'') est :
:3, 30, 6, 80, 12, 450, 894, {{nombre|3636}}, {{nombre|70756}}, {{nombre|97220}}, {{nombre|66768}}, {{nombre|300840}}{{etc.}} (suite {{OEIS2C|id=A108739}}).

== Plancher et plafond ==
Une analogue de la formule de Mills peut être obtenue en remplaçant la fonction plancher par la fonction plafond. En effet, Tóth <ref>{{Article|lang=en|titre=A Variation on Mills-Like Prime-Representing Functions|auteur=Tóth László|revue=[[Journal of Integer Sequences]]|année=2017|volume=20|numéro=17.9.8|url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL20/Toth2/toth32.pdf}}.</ref> a montré en 2017 que la fonction définie par

:<math> \lceil A^{r^{n}} \rceil</math>

est également génératrice de nombres premiers pour <math>r>2,106\ldots</math>. Pour le cas <math>r=3</math>, la valeur de la constante <math>A</math> commence par 1,24055470525201424067... Les nombres premiers générés sont alors:

:<math>2, 7, 337, 38272739, 56062005704198360319209, 176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269, \ldots</math>

== Notes et références ==
{{Références}}


== Voir aussi ==
=== Article connexe ===
[[Formules pour les nombres premiers]]
=== Liens externes ===
*{{MathWorld|nom_url=MillsConstant|titre=Mills' Constant}}
*{{MathWorld|nom_url=MillsPrime|titre=Mills' Prime}}

{{Palette|Classes de nombres premiers}}
{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Constante mathématique|Mills]]
[[Catégorie:Nombre premier|Mills]]