Constante de Mills

En mathématiques, la constante de Mills est définie comme étant le plus petit nombre réel Modèle:Mvar tel que la partie entière de Modèle:MvarModèle:Exp soit un nombre premier, pour tout entier Modèle:Mvar strictement positif. Sous l'hypothèse de Riemann,

$A=1,30637788386\dots$Modèle:,.

Théorème de Mills

Ce théorème a été démontré en 1947 par le mathématicien William H. Mills ; par la suite, plusieurs mathématiciens ont calculé le plus petit Modèle:Mvar convenable en supposant qu’il y a toujours un nombre premier entre deux cubes consécutifs, ce qui est une conséquence de l'hypothèse de Riemann.

Nombres premiers de Mills

Les nombres premiers générés par la constante de Mills sont appelés les nombres premiers de Mills. Si l'hypothèse de Riemann est vraie, cette suite (fModèle:Ind) est :

2, 11, 1 361, Modèle:Nombre, Modèle:NombreModèle:Etc. (Modèle:OEIS),

ou encore : fModèle:Ind = fModèle:IndModèle:3 + bModèle:Ind où la suite (bModèle:Ind) est :

3, 30, 6, 80, 12, 450, 894, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:NombreModèle:Etc. (suite Modèle:OEIS2C).

Plancher et plafond

Une analogue de la formule de Mills peut être obtenue en remplaçant la fonction plancher par la fonction plafond. En effet, Tóth a montré en 2017 que la fonction définie par

$\lceil A^{r^n}\rceil$

est également génératrice de nombres premiers pour $r>2,106\dots$. Pour le cas $r=3$, la valeur de la constante $A$ commence par 1,24055470525201424067... Les nombres premiers générés sont alors:

$2,7,337,38272739,56062005704198360319209,176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269,\dots$

Voir aussi

Article connexe

Formules pour les nombres premiers

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