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En [[mathématiques]], un '''corps valué''' est un corps ''K'' muni d'une [[Valeur absolue#Valeur absolue sur un corps|valeur absolue]] <math>x \mapsto |x|</math>{{Sfn|Bourbaki|loc=Définition 3}}. Celle-ci détermine sur ''K'' une structure d'[[espace métrique]] définie par la distance invariante <math>d(x,y)=|x-y|</math>, et ''K'', muni de la [[espace métrisable|topologie métrisable]] ainsi définie, est un [[Anneau topologique|corps topologique]].

Par exemple, toute [[valuation]] ''à valeurs réelles'' sur ''K'' permet de définir une valeur absolue sur ''K'' (la réciproque n'est vraie que pour les [[valeur absolue ultramétrique|valeurs absolues ultramétriques]]<ref>{{Serre3}} p. 36, qui mentionne de plus une caractérisation des valeurs absolues non ultramétriques.</ref>). Pour cette raison, certains auteurs{{Qui|date=2 juillet 2020}}{{Référence souhaitée||date=2 juillet 2020}} appellent corps valué tout corps muni d'une valuation.

La topologie d'un corps valué est [[Topologie discrète|discrète]] si, et seulement si la valeur absolue est [[Théorème d'Ostrowski#Valeur absolue triviale|triviale]], c'est-à-dire issue de la [[Valuation#Valuation triviale|valuation triviale]]<ref>Remarque : tout [[espace vectoriel]] à gauche sur un corps valué discret est un [[espace vectoriel topologique]] pour la topologie discrète ; il n'en est pas ainsi pour un espace vectoriel non [[Espace nul|nul]] sur un corps valué non discret.</ref>.

L'[[Anneau topologique#Complétion d'un anneau métrisable|anneau complété]] d'un corps valué est un corps valué{{sfn|Bourbaki|loc=Proposition 7}}.
{{Démonstration|
Soient <math>(K,d)</math> un corps muni d'une distance associée à une valuation <math>|~|</math> et <math>(\widehat K,\widehat d)</math> l'anneau complété. Par [[Espace séparé#Principales propriétés|prolongement des identités]], <math>\widehat d</math> est invariante par translations et l'application <math>x\mapsto\widehat d(x,0)</math> (qui [[Prolongement|prolonge]] <math>|~|</math>) est une valuation sur <math>\widehat K</math>. L'application <math>K^*\to K,\;x\mapsto x^{-1}</math> est <math>\frac1{\varepsilon^2}</math>-[[Application lipschitzienne|lipschitzienne]] sur <math>\{x\in K\mid|x|\ge\varepsilon\}</math> pour tout <math>\varepsilon>0</math>. Elle [[Fonction Cauchy-continue#Propriétés|s'étend donc continûment]] en une application <math>x\mapsto x^{-1}</math> définie sur <math>\cup_{\varepsilon>0}\{x\in\widehat K\mid|x|\ge\varepsilon\}=\widehat K^*</math>.
}}

==Notes et références==
{{Références}}

==Voir aussi==

=== Articles connexes ===

* [[Théorème d'Ostrowski]]

=== Bibliographie ===

* {{Bourbaki-Topologie|numéro chapitre=IX.3|passage=28-31|titre chapitre=Utilisation des nombres réels en topologie générale: Groupes métrisables; corps valués; espaces et algèbres normés}}
{{Palette|Structures algébriques}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Structure algébrique]]
[[Catégorie:Anneau]]