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La '''corrélation d'Eucken''' est une expression liant [[Conductivité thermique|conductivité]], [[Viscosité dynamique|viscosité]] et [[Capacité thermique massique|chaleur spécifique]] dans le cas d'un gaz polyatomique. Elle a été établie par [[Arnold Eucken]] en 1913<ref>{{article|langue=de|auteur=A. Eucken|titre=?|périodique=[[Physikalische Zeitschrift]]|date=1913|volume=14|pages=324}}</ref>.

== Relation d'Eucken ==
Dans un [[gaz monoatomique]] la [[méthode de Chapman-Enskog]] permet de relier conductivité et viscosité par la relation :
::<math>\frac{\lambda}{\mu}=\frac{5}{2}C_V</math>
où <math>\textstyle C_V</math> est la [[capacité thermique massique]] à volume constant.

Le calcul analytique étant difficile pour un gaz polyatomique possédant des degrés de liberté internes, Eucken a proposé d'écrire la loi sous une [[forme linéaire]] faisant intervenir de manière découplée la translation (indice tr) et les degrés de liberté internes (indice int) :
::<math>\frac{\lambda}{\mu}=f_{tr}C_{V_{tr}}+f_{int}C_{V_{int}}\,,\quad C_{V_{int}}=\frac{3\mathcal{R}}{2\mathcal{M}}</math>
où <math>\textstyle \mathcal{R}</math> est la [[constante universelle des gaz parfaits]] et <math>\textstyle \mathcal{M}</math> la [[masse molaire]]. La compatibilité avec le cas monoatomique donne <math>\textstyle f_{tr}=\frac{5}{2}</math>.

Eucken a proposé  <math>\textstyle f_{int}=1</math>, valeur obtenue lorsque les degrés de liberté internes ont un temps de relaxation nul (découplage de la translation)<ref name=Hirs>{{Ouvrage|langue=en|nom1=[[Joseph Oakland Hirschfelder]]|nom2=[[Charles Francis Curtiss]]|nom3=[[Robert Byron Bird]]|titre=Molecular Theory of Gases and Liquids|éditeur=[[John Wiley and Sons]]|année=1966|isbn=978-0-471-40065-3}}</ref>. On obtient alors l'expression :
::<math>\frac{\lambda}{\mu}=C_V+\frac{9\mathcal{R}}{4\mathcal{M}}</math>

Cette expression donne des valeurs trop faibles et il a été proposé de la modifier en prenant pour <math>\textstyle f_{int}</math> l'inverse du [[nombre de Schmidt]] <math>\textstyle Sc</math>, conduisant ainsi à la '''corrélation d'Eucken modifiée'''<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur1=[[Joel Henry Ferziger]]|auteur2=H. G. Kaper|titre=Mathematical Theory of Transport Processes in Gases|éditeur=North Holland Publishing|date=1972}}</ref>{{,}}<ref name=Hirschfelder>{{article|langue=en|auteur=[[Joseph Oakland Hirschfelder]]|titre=Heat Conductivity in Polyatomic or Electronically Excited Gases|périodique=Journal of Chemical Physics|volume=26|numéro=2|date=1957|pages=282-285}}</ref>. Celle-ci donne plutôt des valeurs par excès<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur1=R. C. Reid|auteur2=J. M. Prausnitz|auteur3=T. K. Sherwood|titre=The Properties of Gases and Liquids|éditeur=McGraw Hill|date=1977}}</ref>.

Plus tard des calculs d'échanges au cours des collisions moléculaires (Mason et Monchik, Wang-Chang et [[George Uhlenbeck|Uhlenbeck]])<ref name=Hirschfelder/> ont permis de valider l'expression utilisée par Eucken et de donner des valeurs plus réalistes pour les facteurs f :
::<math>f_{tr}=\frac{5}{2}\left[1-\frac{5}{6Z}\left(1-\frac{2}{5Sc}\right)\frac{\mathcal{M}C_{V_{int}}}{\mathcal{R}}\right]</math>
::<math>f_{int}=\frac{1}{Sc}\left[1+\frac{5}{4Z}\left(1-\frac{2}{5Sc}\right)\right]</math>
où <math>\textstyle Z</math> est le paramètre de relaxation vibrationnelle (sans dimension) lié au temps caractéristique <math>\textstyle \tau=\frac{\mu}{pZ}</math>. On remarque qu'en faisant tendre Z vers l'infini on retrouve la corrélation d'Eucken modifiée. Ce coefficient est calculable à partir des [[intégrales de collision]] et vaut environ 1,35 pour les gaz diatomiques à température normale<ref name=Hirs/>.

== Références ==
{{Références}}

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Mécanique des fluides]]