Corrélation d'Eucken

La corrélation d'Eucken est une expression liant conductivité, viscosité et chaleur spécifique dans le cas d'un gaz polyatomique. Elle a été établie par Arnold Eucken en 1913.

Relation d'Eucken

Dans un gaz monoatomique la méthode de Chapman-Enskog permet de relier conductivité et viscosité par la relation :

$\frac{\lambda }{\mu }=\frac{5}{2}{C}_V$

où $C_V$ est la capacité thermique massique à volume constant.

Le calcul analytique étant difficile pour un gaz polyatomique possédant des degrés de liberté internes, Eucken a proposé d'écrire la loi sous une forme linéaire faisant intervenir de manière découplée la translation (indice tr) et les degrés de liberté internes (indice int) :

$\frac{\lambda }{\mu }=f_{tr}{C}_{V_{tr}}+f_{int}{C}_{V_{int}},C_{V_{int}}=\frac{3ℛ}{2ℳ}$

où $ℛ$ est la constante universelle des gaz parfaits et $ℳ$ la masse molaire. La compatibilité avec le cas monoatomique donne $f_{tr}=\frac{5}{2}$.

Eucken a proposé $f_{int}=1$, valeur obtenue lorsque les degrés de liberté internes ont un temps de relaxation nul (découplage de la translation). On obtient alors l'expression :

$\frac{\lambda }{\mu }=C_V+\frac{9ℛ}{4ℳ}$

Cette expression donne des valeurs trop faibles et il a été proposé de la modifier en prenant pour $f_{int}$ l'inverse du nombre de Schmidt $Sc$, conduisant ainsi à la corrélation d'Eucken modifiéeModèle:,. Celle-ci donne plutôt des valeurs par excès.

Plus tard des calculs d'échanges au cours des collisions moléculaires (Mason et Monchik, Wang-Chang et Uhlenbeck) ont permis de valider l'expression utilisée par Eucken et de donner des valeurs plus réalistes pour les facteurs f :

$f_{tr}=\frac{5}{2}[1-\frac{5}{6Z}(1-\frac{2}{5Sc})\frac{ℳC_{V_{int}}}{ℛ}]$

$f_{int}=\frac{1}{Sc}[1+\frac{5}{4Z}(1-\frac{2}{5Sc})]$

où $Z$ est le paramètre de relaxation vibrationnelle (sans dimension) lié au temps caractéristique $\tau =\frac{\mu }{pZ}$. On remarque qu'en faisant tendre Z vers l'infini on retrouve la corrélation d'Eucken modifiée. Ce coefficient est calculable à partir des intégrales de collision et vaut environ 1,35 pour les gaz diatomiques à température normale.