Voir la source de Croissance comparée des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles

Le '''théorème des croissances comparées''' est constitué de quelques résultats de [[Limite (mathématiques)|limites de fonctions]] qui seraient qualifiées de « [[Limite (mathématiques)#Indétermination|formes indéterminées]] » par la méthode usuelle pour la [[Opérations sur les limites#Multiplication|limite d'un produit]] ou [[Opérations sur les limites#Division|d'un quotient]].

== Énoncé==

{{Centrer|<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{{\rm e}^x}x=+\infty,\quad\lim_{x\to-\infty}x\,{\rm e}^x=0,</math>}}

{{Centrer|<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0,\quad\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0</math>}}

Plus généralement, pour tous [[Nombre réel|réels]] strictement positifs {{math|''a''}} et {{math|''b''}}<ref>{{Ouvrage|titre=Mathématiques tout-en-un [[Classes préparatoires physique, chimie, sciences de l'ingénieur|PCSI]]-[[PTSI]]|sous-titre=nouveau programme 2013|auteur1=Claude Deschamps|auteur2=François Moulin|auteur3=[[André Warusfel]]|et al.=oui|année=2014|éditeur=[[Dunod]]|url={{Google Livres|6BCYBAAAQBAJ|page=199}}|page=199}}.</ref>,

{{Centrer|<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{{\rm e}^{ax}}{x^b}=+\infty\quad(1),\quad\lim_{x\to-\infty}|x|^b{\rm e}^{ax}=0\quad(2),</math>}}

{{Centrer|<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln(x))^b}{x^a}=0\quad(3),\quad\lim_{x\to0^+}x^a\left|\ln(x)\right|^b=0\quad(4).</math>}}

L'hypothèse {{math|''a'' > 0}} est indispensable. Supposer de plus {{math|''b'' > 0}} est en fait inutile (pour {{math|''b'' ≤ 0}}, les limites considérées ne sont pas des formes indéterminées).

==Démonstrations==
{{Article détaillé|Indétermination de la forme ∞/∞{{!}}Indétermination de la forme {{math|∞/∞}}}}

On peut s'appuyer sur le cas particulier suivant de (1), dont plusieurs preuves sont indiquées dans l'article détaillé :
{{Retrait|<math>\forall n\in\N^*\quad\lim_{y\to+\infty}\frac{{\rm e}^y}{y^n}=+\infty.</math>}}
En choisissant {{math|''n'' ≥ ''b''}}, on obtient en effet :
#en posant {{math|1=''y = ax''}} :{{Retrait|<math>\forall x\in[1/a,+\infty[\quad\frac{{\rm e}^{ax}}{x^b}=a^b\frac{{\rm e}^y}{y^b}\ge a^b\frac{{\rm e}^y}{y^n},</math>}}
#en posant {{math|1=''y = –ax''}} :{{Retrait|<math>\forall x\in{]-\infty,-1/a]}\quad0\le|x|^b{\rm e}^{ax}=a^{-b}{y^b}{\rm e}^{-y}\le a^{-b}\left/\left(\frac{{\rm e}^y}{y^n}\right)\right.,</math>}}
#en posant {{math|1=''y = a ''ln''x''}} :{{Retrait|<math>\forall x\in[{\rm e}^{1/a},+\infty[\quad0\le\frac{(\ln(x))^b}{x^a}=a^{-b}\frac{y^b}{{\rm e}^y}\le a^{-b}\left/\left(\frac{{\rm e}^y}{y^n}\right)\right.,</math>}}
#en posant {{math|1=''y = –a ''ln''x''}} :{{Retrait|<math>\forall x\in{]0,{\rm e}^{-1/a}]}\quad0\le x^a\left|\ln(x)\right|^b=a^{-b}{\rm e}^{-y}y^b\le a^{-b}\left/\left(\frac{{\rm e}^y}{y^n}\right)\right..</math>}}
Chacune des quatre limites peut aussi se déduire de n'importe laquelle des trois autres par changement de variable.

==Note et référence==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets
  |v=Fonction exponentielle/Croissances comparées
  | wikiversity titre =Fonction exponentielle : croissances comparées
}}
{{autres projets
  |v=Fonction logarithme/Croissances comparées
  | wikiversity titre =Fonction logarithme : croissances comparées
}}
* [[Limites de référence]]
* [[Limite (mathématiques)]]
* [[Limite (mathématiques élémentaires)]]

{{Palette|Mathématiques élémentaires}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Mathématiques élémentaires]]
[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Théorème d'analyse|Croissances Comparees]]