Voir la source de Développement en série de Engel

{{Ébauche|mathématiques}}
En mathématiques, le '''développement en série de [[Friedrich Engel|Engel]]''' d'un [[nombre réel]] strictement positif <math>x</math>, moins connu que son développement en [[fraction continue]] mais étroitement lié<ref name=":0">{{Article|auteur=Pierre Liardet|auteur2=Pierre Stambul|titre=Séries de Engel et fractions continuées |périodique=Journal de théorie des nombres de Bordeaux|tome=12|numéro=1 |date=2000 |lire en ligne=http://www.numdam.org/article/JTNB_2000__12_1_37_0.pdf |pages=37-68 }}.</ref>, est son expression sous la forme :

: <math>x=\frac 1{a_1}+\frac 1{a_1a_2}+\frac 1{a_1a_2a_3}+\dotsb</math>

où les <math>a_n</math> forment une [[suite croissante]] d'[[Entier naturel|entiers naturels]] non nuls. Il y a existence et unicité de la suite <math>(a_n)_{n\geqslant 1}</math>pour tout <math>x</math> strictement positif.

Son appellation honore [[Friedrich Engel]], qui l'a étudié en [[1913 en science|1913]]<ref>{{Chapitre|lang=de|prénom=F.|nom=Engel|titre=Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen|titre ouvrage=Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg|année=1913|page=190-191}} ; traduction en anglais : http://oeis.org/A006784/a006784.pdf.</ref> ; on l'utilise en [[théorie des nombres]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Daniel|nom1=Duverney|titre=Number Theory : An Elementary Introduction Through Diophantine Problems|passage=14-15|éditeur=World Scientific|collection=Monographs in Number Theory|numéro dans collection=4|année=2010|pages totales=335|isbn=978-981-4307-46-8|lire en ligne={{Google Livres|EJHMAqMIdsgC|page=14}}}} (ou : ''Théorie des nombres'', [[Éditions Dunod|Dunod]], 2007).</ref> et en [[théorie des probabilités]]<ref name=":1" />.

Un développement similaire est le développement en série de Pierce, dans lequel les termes sont de signes alternés<ref>{{mathworld|nom_url=PierceExpansion|titre=Pierce Expansion}}</ref>{{,}}<ref>{{article |lang=en |auteur1=T.A. Pierce |titre=On an Algorithm and Its Use in Approximating Roots of Algebraic Equations |périodique=The American Mathematical Monthly |volume=36 |numéro=10 |année=1929 |pages=523–25 |doi=10.2307/2299963}}</ref>. 

== Écriture condensée ==
On utilisera dans cet article la notation <math>\frac 1{a_1}+\frac 1{a_1a_2}+\frac 1{a_1a_2a_3}+\dotsb=\left]a_1,a_2,a_3,\dots\right[</math><ref name=":0" />.

De plus, lorsque {{mvar|x}} appartient à <math>\left]n,n+1\right[</math>, on a toujours <math>a_1=a_2=\dots=a_n=1</math>. On écrira donc plus simplement un réel <math>x</math> non entier de cet intervalle sous la forme <math>x=n+]a_{n+1},a_{n+2},..[</math> où <math>n=\left \lfloor x \right \rfloor</math> est la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] de <math>x</math> ; on a alors <math>a_{n+1}\geqslant2</math>.

Par exemple, le [[Pi|nombre {{math|π}}]], situé entre {{math|3}} et {{math|4}}, s'écrit <math>\pi=\left]1,1,1,8, 8, 17, 19, 300,\dots\right[</math><ref>Voir la {{OEIS|A006784}}.</ref><math>=3+\left]8, 8, 17, 19, 300,\dots\right[</math>.

== Premiers exemples ==

*Un développement par une suite constante correspond à une [[série géométrique]] : <math>\left]a,a,a,\dots\right[=\sum_{n=1}^\infty{1\over a^n}=\frac1{a-1}</math> (pour tout entier <math>a\geqslant2</math>).
* Celui du nombre {{math|e}} correspond au développement obtenu à partir de la [[série entière]] de l'exponentielle : <math>\mathrm e=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}</math> ; donc <math>\mathrm e=2+\left]2,3,4,\dots\right[</math>.
*Plus généralement, <math>\sqrt[n]{\mathrm e}=\sum_{k=0}^\infty\frac1{n^kk!}=1+\left]n,2n,3n,\dots\right[</math>.
*Le nombre <math>\sum_{p\text{ premier}} {1 \over p\#} = {1 \over 2} + {1 \over {2\times 3}} + {1 \over {2\times 3\times 5}} + \ldots =0{,}70523\ldots</math><ref>Voir la {{OEIS|A064648}}.</ref>, somme des inverses des [[primorielle]]s, est le nombre pour lequel la suite <math>(a_n)_{n\geqslant 1}</math> est la suite croissante de [[Nombre premier|nombres premiers]].

== Expression des sommes partielles ==
La somme partielle <math>S_N=\frac 1{a_1}+\frac 1{a_1a_2}+\dots+\frac 1{a_1a_2\dots a_N}</math> peut s'écrire après factorisations sous les formes équivalentes suivantes :

<math>\frac1{a_1}\biggl(1+\frac1{a_2}\biggl(1+\dots+\frac1
{a_{N-1}}\biggl(1+\frac{1}{a_N }\biggl)\biggl)\biggl)=
\frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\cdots\frac{\displaystyle 1+\frac1{a_N}}
{\displaystyle \cdots}}{\displaystyle a_2}}{\displaystyle a_1}</math>, fraction continue ascendante,

à comparer avec le développement en [[fraction continue]] descendante classique : <math>a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\dots+\cfrac{1}{a_N}}}</math> ;

cette expression montre que <math>S_N</math> peut se calculer à partir de <math>a_1,\dots,a_N</math> avec <math>N</math> divisions et <math>N</math> additions (les additions consistant juste à ajouter {{math|1}}).

Le nombre <math>x=\lim_{N \to \infty}S_N</math> s'écrit alors <math>
\frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\cdots}
{\displaystyle a_3}}{\displaystyle a_2}}{\displaystyle a_1}</math>.

== Construction du développement ==
La suite <math>(a_n)</math> s'obtient par l'algorithme suivant, dû à [[Henry Briggs]] :

::<math>\left\{\begin{matrix} { a_1 = \left\lfloor\frac1x\right\rfloor + 1} \\ { x_1 = a_1x - 1 } \end{matrix} 
\right.,\left\{\begin{matrix} { a_2 = \left\lfloor\frac1{x_1}\right\rfloor + 1} \\
{ x_2 = a_2x_1 - 1 } \end{matrix} \right.,\qquad
\dotso,
\left\{\begin{matrix} { a_{n} = \left\lfloor\frac1{x_{n-1}}\right\rfloor + 1} \\
{ x_{n} = a_{n}x_{n-1} - 1} \end{matrix} \right.,... </math>

De sorte que <math>x_n=\left]a_{n+1},a_{n+2},\dots\right[</math>.

On obtient par exemple :
:<math>\sqrt2=1+\left]3,5,5,16,18,78,112,\dots\right[</math>, voir la {{OEIS|A028254}}.

La liste des développements de Engel publiés dans l'OEIS se trouve [[oeis:wiki/Index_to_OEIS:_Section_El#Engel|ici]].

{{Théorème|Le réel {{mvar|x}} est [[Nombre rationnel|rationnel]] si et seulement si la suite <math>(a_n)_{n\geqslant 1}</math> est [[Suite (mathématiques élémentaires)#Suite stationnaire|constante à partir d'un certain rang.]]
}}

Ceci permet de prouver l’irrationalité de nombres dont on connait un développement du type <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{a_1\dots a_n}</math> comme {{math|e}}, <math>\sqrt[n]{\mathrm e}</math>, <math>\cosh1</math>, <math>\sinh1</math>, <math>\mathrm e^{\sqrt2}</math>, <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n^2}}</math>, <math>\sum_{p\text{ premier}} {1 \over p\#} </math><ref name=":1">{{Article |langue=fr |auteur1=Daniel Duverney |titre=Développement d'un nombre en série de Engel |périodique=Revue de Mathématiques Spéciales |date=Novembre 1993 |lire en ligne=https://danielduverney.fr/documents/textes-courts-mathematiques/Engel.pdf }}.</ref>.

== Variante différenciant les rationnels des irrationnels ==

* Le réel positif <math>x</math> s'écrit aussi de manière unique sous la forme :
*:: <math>x = \frac1{b_1} + \frac1{b_1b_2} + \frac1{b_1b_2b_3}+ \dotsb + \frac1{b_1b_2 \dotsm b_n} + \dotsb</math>,
*: où les <math>b_n</math> forment une suite ''finie ou infinie'' croissante (au sens large) d'entiers strictement positifs, mais où l'on s'interdit une suite infinie constante à partir d'un certain rang.
* De plus, ces entiers s'obtiennent en utilisant cette fois la fonction [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière supérieure]] <math>\lceil. \rceil</math> :
*:: <math>\left\{\begin{matrix} { b_1 =\left\lceil\frac1x\right\rceil} \\ { u_1 = b_1x - 1 } \end{matrix} 
\right.,\left
\{\begin{matrix} { b_2 =\left \lceil\frac1{u_1}\right\rceil} \\ { u_2 = b_2u_1 - 1 } \end{matrix} \right.,\qquad
\dotso,\qquad
\left\{\begin{matrix} { b_{n} = \left\lceil\frac1{u_{n-1}}\right\rceil} \\ { u_{n} = b_{n}u_{n-1} - 1}
\end{matrix} \right.\dots</math>
*: en convenant que si un <math>u_N</math> est nul, la [[suite d'entiers]] s'arrête à <math>b_N</math>.
* Le réel <math>x</math> est alors [[Nombre irrationnel|irrationnel]] si et seulement si la suite des <math>b_n</math> est infinie, et dans ce cas (par unicité) les deux constructions coïncident.
* Lorsque <math>x</math> est rationnel, la suite finie <math>(b_1,\dots,b_N)</math> et la suite infinie stationnaire <math>(a_1,a_2,a_3,...)</math> coïncident jusqu'au rang <math>N-1</math>, et pour tout <math>n\geqslant N</math>, <math>a_n=b_N+1</math>.

Par exemple : <math>{355\over113}=3+\left]8,8,17,19,113\right[=3+\left]8,8,17,19,114,114,\dots\right[</math> (à comparer avec le développement de {{math|π}} [[#Écriture condensée|ci-dessus]]).

Notons que cet algorithme fournit, pour tout rationnel strictement compris entre 0 et 1, un [[Fraction égyptienne|développement en somme de fractions égyptiennes]] de dénominateurs distincts. Cette écriture avait été [[Fraction égyptienne#Mathématiques médiévales|vue par Fibonacci dans son ''Liber abaci'']] (1202).

== Formule de Stratemeyer ==
Cette formule donne le développement de Engel des nombres quadratiques de la forme : <math>a-\sqrt{a^2-1}</math> où <math>a</math> est un entier <math>\geqslant1</math> ;

la suite <math>(a_n)</math> étant définie par <math>a_1=a</math> et <math>a_{n+1}=2a_n^2-1</math>, on a : <math>a-\sqrt{a^2-1}=\left]2a_1,2a_2,\dots\right[=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^na_1\dots a_n}</math><ref name=":0" />.

Par exemple, <math>2-\sqrt3=\left]4, 14, 194, 37634,\dots\right[</math>, voir la {{OEIS|A003010}}.
== Notes et références ==
<references responsive="1"></references>
== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Développement en série de Engel}}

=== Articles connexes ===
* [[Fraction continue]]
*[[Suite de Sylvester#Généralisation : développement en série de Sylvester d'un réel quelconque|Développement en série de Sylvester]]
*[[Développement en cotangente continue de Lehmer]]

=== Liens externes ===
*{{MathWorld|nom_url=EngelExpansion|titre=Engel Expansion}}
*{{Article|lang=en|auteur=Peter J. Grabner|auteur2=Arnold Knopfmacher|titre=Arithmetic and metric properties of [[Nombre p-adique|{{math|''p''}}-adic]] Engel series expansions|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#P|Publ. Math. Debrecen]]|vol=63|numéro=3|année=2003|p.=363-377|url=https://www.math.tugraz.at/~grabner/Publications/p-Engel.pdf}}

{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Série (mathématiques)|Engel]]
[[Catégorie:Fraction continue]]