Voir la source de De la mesure du cercle

{{Titre mis en forme|''De la mesure du cercle''}}
{{Infobox Ouvrage
|image=A page from Archimedes' Measurement of a Circle.jpg
|légende=Une page de ''De la mesure du cercle'' publiée en latin en 1558 par [[Paulus Manutius]] à Venise.
}}
'''''De la mesure du cercle''''' ([[grec ancien]] : {{lang|grc|Κύκλου μέτρησις}} / {{transl|grc|Kúklou métrēsis}}) est un traité d'[[Archimède]] composé de trois [[Proposition (mathématiques)|propositions]]. Ce traité est seulement une partie de ce qui était une œuvre plus importante<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Thomas Little|nom1=Heath|lien auteur1=Thomas Heath|titre=A History of Greek Mathematics|volume=2|titre volume=From Aristarchus to Diophantus|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=2013|année première édition=1921|pages totales=608|page={{refinc|date=août 2014|page ?}}|isbn=978-0-486-16265-2|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=8TSoAAAAQBAJ}}.</ref>{{,}}<ref name=Brit>{{en}} {{Lien web|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/32808/Archimedes|titre=''Archimede''|éditeur=Encyclopædia Britannica|année=2008|<!--|consulté le=30 juin 2008-->}}.</ref> ; il a été redécouvert en 1906 dans le [[palimpseste d'Archimède]].

== Propositions ==

=== Proposition une ===
[[Fichier:Area of circle and triangle.svg|thumb|left|Le cercle et le triangle ont la même aire.]]

{{Citation bloc|Un cercle quelconque est égal à un [[triangle rectangle]] dont un des côtés de l'angle droit est égal au [[rayon (géométrie)|rayon]] de ce cercle, et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la [[circonférence]] de ce même cercle<ref name=TraductionOfficielle>Traduction par [[François Peyrard]], {{cf.}} liens externes ci-dessous.</ref>.
}}
Autrement dit : tout cercle de circonférence ''c'' et de rayon ''r'' a même [[Aire (géométrie)|aire]] qu'un triangle rectangle de [[cathète]]s ''c'' et ''r''. Cette proposition est démontrée par [[Méthode d'exhaustion|exhaustion]]<ref name=Works>{{en}} {{Lien web|url=https://books.google.com/books?id=bTEPAAAAIAAJ&printsec=titlepage|titre=''The Works of Archimedes''|auteur=Thomas Little Heath|éditeur=Cambridge University|année=1897|page=''lxxvii ''; 50<!--|consulté le=30 juin 2008-->}}.</ref>.

=== Proposition deux ===
{{Citation bloc|Un cercle est au carré construit sur son diamètre, [[À quelque chose près|à très peu de chose près]], comme 11 est à 14<ref name=TraductionOfficielle/>.}}
Autrement dit : le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre est presque celui de 11 à 14. Ou encore : 22/7 est une bonne 
[[Approximation de π|approximation du nombre {{math|π}}]].
[[Fichier:Cercle inscrit dans un carré.png|vignette|Le cercle <math>d</math> de rayon <math>r</math> inscrit dans un carré <math>c</math> de côté <math>2 \times r</math>.]]


'''Démonstration''' :

Soit un disque <math>d</math> de côté <math>r</math> et un carré <math>c</math> de côté <math>2 \times r</math>.

<math>Aire_{d}=\pi \times {r}^2</math>

<math>Aire_c={(2\times r)}^2=4 \times {r}^2</math>

<math>\frac{Aire_d}{Aire_c}=\frac{\pi \times {r}^2}{4\times {r}^2}=\frac{\pi}{4}\approx\frac{11}{14}</math>

Ainsi :

<math>\pi \approx \frac{4 \times 11}{14}=\frac{22}{7}</math>

=== Proposition trois ===
[[Fichier:Archimedes pi.svg|thumb|Exemples de la manière dont Archimède calcule {{math|π}}. Archimède utilise un polygone de 96 côtés pour son approximation.]]
{{Citation bloc|La circonférence d'un cercle quelconque est égale au triple du diamètre réuni à une certaine portion du diamètre, qui est plus petite que le septième de ce diamètre, et plus grande que les 10/71 de ce même diamètre<ref name=TraductionOfficielle/>.}}
Autrement dit : le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est inférieur à <math>3 + \tfrac{10}{70}</math> mais supérieur à <math>3 + \tfrac{10}{71}</math>.

Cette proposition revient à fournir un encadrement de {{mathPi}}. Archimède a trouvé des [[majorant]]s et minorants de {{mathPi}} en [[Cercle inscrit|inscrivant]] et en [[Cercle circonscrit|circonscrivant]] un cercle à deux [[Polygone régulier|polygones réguliers]] [[Similitude (géométrie)|similaires]] de 96 côtés<ref name=manual>{{en}} {{Lien web|url=https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&printsec=frontcover|titre=''A Manual of Greek Mathematics''|auteur=Thomas Little Heath|éditeur=Cambridge University|année=1931|isbn=0486432319|page=146<!--|consulté le=30 juin 2008-->}}.</ref>.

==== Approximation de [[racine carrée|racines carrées]] ====
Cette proposition contient aussi une approximation supérieure et inférieure de [[Racine carrée de trois|{{sqrt|3}}]] et d'autres approximations supérieures de racines carrées.
:<math>\tfrac{1351}{780} > \sqrt{3} > \tfrac{265}{153}</math><ref name=Works/>
Archimède ne donne pas d'explications sur la manière d'obtenir ces approximations<ref name=Brit/>. Cependant la simple expression graphique des fractions continues, exprimée par une suite de rectangles, permet d'obtenir ces mêmes ratios.

{{Image multiple
| header = Figure géométrique des fractions majorantes et minorantes de racine de 3
| header_align = center
| width = 300
| image1 = 11.20 Fraction continue - V3.png
| caption1 = Suite des fractions minorantes de racine de 3
| image2 = FB-Fraction continue majorante de racine de 3.png
| caption2 = Suite des fractions majorantes de racine de 3
}}
{{clr}}
==Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Measurement of a Circle|266147444|type=note}}
{{Références}}

== Liens externes ==
* {{Lien web|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k210245h/f163|titre=De la mesure du cercle}} : traduction littérale et commentée par F. Peyrard, version image numérique sur le site [[Gallica]] de la [[Bibliothèque nationale de France|BNF]]
* {{Lien web|url=http://remacle.org/bloodwolf/erudits/archimede/cercle.htm|titre=De la mesure du cercle}} : traduction littérale et commentée par F. Peyrard, version texte numérisé par Marc Szwajcer, sur le site ''L'antiquité grecque et latine du moyen âge'' de [[Philippe Remacle]] {{et al.}} (qui contient aussi les traductions des [[Éléments d'Euclide]] par le même auteur)
* {{Autorité}}

{{Portail|géométrie|Grèce antique}}
[[Catégorie:Géométrie euclidienne]]
[[Catégorie:Histoire de la géométrie]]
[[Catégorie:Ouvrage d'Archimède]]