De la mesure du cercle

Modèle:Titre mis en forme Modèle:Infobox Ouvrage De la mesure du cercle (grec ancien : Modèle:Lang / Modèle:Transl) est un traité d'Archimède composé de trois propositions. Ce traité est seulement une partie de ce qui était une œuvre plus importanteModèle:, ; il a été redécouvert en 1906 dans le palimpseste d'Archimède.

Propositions

Proposition une

Le cercle et le triangle ont la même aire.

Modèle:Citation bloc Autrement dit : tout cercle de circonférence c et de rayon r a même aire qu'un triangle rectangle de cathètes c et r. Cette proposition est démontrée par exhaustion.

Proposition deux

Modèle:Citation bloc Autrement dit : le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre est presque celui de 11 à 14. Ou encore : 22/7 est une bonne [[Approximation de π|approximation du nombre Modèle:Math]].

Le cercle $d$ de rayon $r$ inscrit dans un carré $c$ de côté $2\times r$.

Démonstration :

Soit un disque $d$ de côté $r$ et un carré $c$ de côté $2\times r$.

$Air{e}_d=\pi \times r^2$

$Air{e}_c={(2\times r)}^2=4\times r^2$

$\frac{Air{e}_d}{Air{e}_c}=\frac{\pi \times r^2}{4\times r^2}=\frac{\pi }{4}\approx \frac{11}{14}$

Ainsi :

$\pi \approx \frac{4\times 11}{14}=\frac{22}{7}$

Proposition trois

Exemples de la manière dont Archimède calcule Modèle:Math. Archimède utilise un polygone de 96 côtés pour son approximation.

Modèle:Citation bloc Autrement dit : le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est inférieur à $3+\frac{10}{70}$ mais supérieur à $3+\frac{10}{71}$.

Cette proposition revient à fournir un encadrement de Modèle:MathPi. Archimède a trouvé des majorants et minorants de Modèle:MathPi en inscrivant et en circonscrivant un cercle à deux polygones réguliers similaires de 96 côtés.

Approximation de racines carrées

Cette proposition contient aussi une approximation supérieure et inférieure de [[Racine carrée de trois|Modèle:Sqrt]] et d'autres approximations supérieures de racines carrées.

$\frac{1351}{780}>\sqrt{3}>\frac{265}{153}$

Archimède ne donne pas d'explications sur la manière d'obtenir ces approximations. Cependant la simple expression graphique des fractions continues, exprimée par une suite de rectangles, permet d'obtenir ces mêmes ratios.

Liens externes

• Modèle:Lien web : traduction littérale et commentée par F. Peyrard, version image numérique sur le site Gallica de la BNF
• Modèle:Lien web : traduction littérale et commentée par F. Peyrard, version texte numérisé par Marc Szwajcer, sur le site L'antiquité grecque et latine du moyen âge de Philippe Remacle Modèle:Et al. (qui contient aussi les traductions des Éléments d'Euclide par le même auteur)
• Modèle:Autorité