Voir la source de Dimension de Hausdorff

{{homon|Dimension}}
{{sources à lier|date=mars 2018}}
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[topologie]], la '''dimension de Hausdorff''' d'un [[espace métrique]] (''X'',''d'') est un [[nombre réel]] positif ou nul, éventuellement l'infini. Introduite en [[1918]] par le mathématicien [[Felix Hausdorff]]<ref>{{de}} Felix Hausdorff, « Dimension und äusseres Mass », ''[[Mathematische Annalen|Math. Ann.]]'', vol 79, 1919, {{p.|157-179}} {{lire en ligne|url=https://eudml.org/doc/158784}}.</ref>, elle a été développée par [[Abram Besicovitch]], c'est pourquoi elle est parfois appelée '''dimension de Hausdorff-Besicovitch'''.

L'exemple le plus simple est l'[[espace euclidien]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension (au sens des espaces vectoriels)]] égale à ''n'' (ou plus généralement un [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|espace vectoriel réel de dimension ''n'']] muni d'une distance associée à une [[Norme (mathématiques)|norme]]) : sa dimension de Hausdorff ''d'' est aussi égale à ''n'', dimension de l'espace vectoriel.
Cependant la dimension de Hausdorff d'un espace métrique quelconque peut ne pas être un [[entier naturel]].
[[image:Great Britain Hausdorff.svg|thumb|upright=2|Comment estimer la dimension de Hausdorff de la côte de la [[Grande-Bretagne]]]]

== Introduction informelle ==
Dans un [[espace euclidien]] de dimension {{mvar|d}}, une [[Boule (topologie)|boule]] de rayon {{mvar|r}} a un volume proportionnel à <math>r^d</math>. Intuitivement, on s'attend donc à ce que le nombre <math>N(r)</math> de boules de rayon {{mvar|r}} nécessaires pour [[Recouvrement (mathématiques)|recouvrir]] une boule de rayon unité soit de l'ordre de <math>1/r^d</math>.

On généralise cette notion à un [[espace métrique]] [[Espace compact|compact]] ''X'' quelconque de la façon suivante. Posons <math>N(r)</math> le nombre minimal de [[Boule (mathématiques)|boules]] [[Ouvert (topologie)|ouvertes]] de rayon {{mvar|r}} nécessaires pour recouvrir ''X''. Si, lorsque {{mvar|r}} tend vers 0, <math>N(r)</math> croît comme <math>\frac{1}{r^d}</math>, l'espace ''X'' est dit de dimension {{mvar|d}}. Plus précisément, {{mvar|d}} est le nombre réel tel que lorsque {{mvar|r}} tend vers 0, <math>N(r)r^s</math> tend vers 0 pour tout réel <math>s > d</math>, et vers <math>+\infty</math> pour tout réel <math>s < d</math>.

== Définitions ==
Malheureusement, les limites des quantités ''N''(''r'')''r{{exp|s}}'' introduites dans le paragraphe précédent n'existent pas toujours. On peut contourner cette difficulté en procédant de la façon suivante :

* On [[Recouvrement (mathématiques)|recouvre]] l'espace ''X'' au moyen d'une réunion [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] de parties notées ''A{{ind|i}}'', chacune étant de [[diamètre]] inférieur à ''r''. Le fait d'utiliser une majoration du diamètre permet de prendre des parties arbitrairement petites, par exemple s'il s'agit de recouvrir une partie [[ensemble dénombrable|dénombrable]] de ''X'', et de minimiser ainsi le rôle d'une telle partie dans le calcul de la dimension de ''X''. Pour tout ''s'' réel positif ou nul, on considère la quantité <math>\sum_{i=1}^{\infty}\mathrm{diam}(A_i)^s</math>. Plus précisément, souhaitant avoir un recouvrement le plus économique possible, on introduit la quantité<ref name=Encyclomath>{{EncycloMath|id=Hausdorff_dimension|titre=Hausdorff dimension|prénom1=I. G.|nom1=Koshevnikova}}
.</ref> :{{retrait|<math>H^s_{r}(X)=\inf_{\mathrm{diam}(A_i) < r}{\left\{\left.\sum_{i=1}^{\infty}\mathrm{diam}(A_i)^s\right|X \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty A_i\right\}}.</math>}}
* La fonction <math>r\mapsto H^s_r</math> est [[Fonction monotone|décroissante]], ce qui assure l'existence d'une limite (éventuellement infinie) quand on fait tendre ''r'' vers 0. D'où la définition :{{retrait|<math>H^s(X)=\lim_{r \rightarrow 0}H^s_{r}(X).</math>}}''H{{exp|s}}'' s'appelle [[mesure de Hausdorff]] s-dimensionnelle.
* On vérifie que si ''H{{exp|s}}''(''X'') est fini alors, pour tout ''t'' > ''s'', ''H{{exp|t}}''(''X'') = 0 et que si ''H{{exp|s}}''(''X'') > 0 alors, pour tout ''t'' < ''s'', ''H{{exp|t}}''(''X'') est [[infini]]. Il existe donc un nombre séparant les nombres ''s'' pour lesquels ''H{{exp|s}}''(''X'') = 0 de ceux pour lesquels ''H{{exp|s}}''(''X'') est infini. Ce nombre est la dimension de Hausdorff de ''X''. On pose donc<ref name=Encyclomath/><center><math>\dim_H(X)=\inf\left\{s\mid H^s(X)=0\right\}=\sup\left\{s\mid H^s(X)=\infty\right\}</math>.</center>
La mesure de Hausdorff de ''X'' pour cette dimension, <math>H^{\dim_H(X)}(X)</math>, seule à n'être éventuellement ni nulle, ni infinie, est souvent notée simplement <math>H(X)</math> et appelée mesure de Hausdorff de ''X'' sans autre précision ; pour des sous-ensembles « assez simples » de <math>\mathbb R^n</math>, elle est proportionnelle à la [[mesure de Lebesgue]].

== Propriétés ==
* Si X est inclus dans <math>(Y, D_Y)\,</math>, alors <math>\dim_H{X} \leq \dim_H{Y}</math>.
* La dimension de Hausdorff d’un produit d’espaces métriques est supérieure ou égale à la somme des dimensions de Hausdorff.
*: Explicitement, pour tous espaces métriques <math>(X, D_X)\,</math> et <math>(Y, D_Y)\,</math>, on a :
*: <math>\dim_H{\left( X \times Y \right)} \geq \dim_H{X} + \dim_H{Y}</math>.
* Si X est inclus dans <math>\mathbb R^n</math>, sa dimension de Hausdorff est inférieure ou égale à ''n''.
* Si X est une réunion dénombrable de parties, toutes de dimension inférieure ou égale à ''n'', alors <math>\dim_H{X} \leq n</math>. En particulier la dimension de Hausdorff d'un espace métrique dénombrable est nulle.
* Une [[application lipschitzienne]] diminue la dimension de Hausdorff.
*: Plus généralement, si <math>f : X \rightarrow Y\,</math> est une fonction <math>a\,</math>-[[condition de Hölder|höldérienne]] entre espaces métriques (avec <math>0 < a < 1\,</math>), alors on a :
*: <math>\dim_H\left( f(X) \right) \leq \frac{1}{a} \dim_H(X)\,</math>.
{{Démonstration|contenu=
Soit ''s'' strictement positif tel que <math>as > \dim_H{X}\,</math>, il existe un [[Recouvrement (mathématiques)|recouvrement]] ouvert [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] <math>\{ A_i | \forall i, A_i \sub X \}\,</math> de diamètre inférieur à <math>\delta > 0\,</math> tel que :
: <math>\sum_i{ {\operatorname{diam}_X}^{a s}(A_i) } < \epsilon</math>.
Comme <math>f\,</math> est <math>a\,</math>-höldérienne, il existe une constante <math>C\,</math> telle que <math>f\,</math> envoie toute partie <math>A\,</math> de <math>(X, D_X)\,</math> et de diamètre <math>d = \operatorname{diam}_X(A)\,</math> sur une partie <math>f(A)\,</math> de <math>(Y, D_Y)\,</math> et de diamètre <math>d' = \operatorname{diam}_Y(f(A))</math> tel que <math>d' \leq C d^a\,</math>.
Soit <math>B_i\,</math> un voisinage ouvert suffisamment petit de <math>f(A_i)\,</math>. On peut supposer que le diamètre dans <math>(Y, D_Y)\,</math> de <math>B_i\,</math> est inférieur à <math>C \operatorname{diam}_X^a(A_i)\,</math>. Le diamètre des parties <math>B_i\,</math> est majoré par <math>\delta' = C \delta^a\,</math>.
Par construction, <math>\sum_i{ \operatorname{diam}_X^s\left( B_i \right) } \leq C  \epsilon\,</math>.
Il s’ensuit : <math>H^s\left( f(X) \right) = 0\,</math> pour <math>as > \dim_H(X)\,</math>.
}}
* La dimension de Hausdorff n'est pas une quantité conservée par [[homéomorphisme]]. Par exemple, on peut définir des [[ensemble de Cantor|ensembles de Cantor]], homéomorphes entre eux, mais de dimensions différentes. Mais si l'homéomorphisme ainsi que sa réciproque sont tous deux lipschitziens, alors la dimension est conservée (c'est une conséquence évidente du point précédent). De même, si deux métriques sont Lipschitz-équivalentes, alors elles définissent la même dimension de Hausdorff.

== Calcul pratique dans un cas particulier classique ==
Soit <math>X</math> une partie d’un [[espace vectoriel]] réel qui vérifie la propriété suivante :
: « Il existe <math>n</math> [[Similitude (géométrie)|similitudes]] <math>f_1, f_2,\ldots,f_n</math> de rapports <math>r_1,r_2,\ldots,r_n</math> telles que <math>f_1(X), f_2(X),\ldots,f_n(X)</math> soient disjoints deux à deux et que leur union soit [[isométrie|isométrique]] à <math>X</math>. »
On a alors la relation :

:<math>{r_1}^d + {r_2}^d + \ldots + {r_n}^d = 1</math>,

où <math>d</math> est la dimension de <math>X</math>.

Cela découle de la propriété suivante des mesures de Hausdorff :

« Pour tout λ positif, <math>H^d(\lambda X)=\lambda^d H^d(X)</math>. »

et de l'invariance par [[isométrie]].

Cela offre un moyen simple de calculer les dimensions de fractales classiques, telles le [[flocon de Koch]], le [[tapis de Sierpinski]], etc.

'''Exemples'''

[[Image:Ensemble_de_Cantor.png|vignette|droite|L'ensemble de Cantor.]]
[[Image:AsymmCantor.png|vignette|droite|L'ensemble de Cantor asymétrique.]]
* L’[[ensemble de Cantor]] est constitué de deux ensembles de Cantor trois fois plus petits ; les deux similitudes sont donc ici des homothéties de rapport 1/3, composées avec des translations.<br />Donc <math>2 \left( \frac13\right)^d = 1</math>, ce qui donne : <math>d = \frac{\ln2}{\ln3} = \log_32</math>.
* L’ensemble de Cantor asymétrique est constitué de deux ensembles de Cantor, l'un deux fois plus petit, l'autre quatre fois plus petit. Les deux similitudes sont donc ici des homothéties de rapports respectifs 1/2 et 1/4, composées avec des translations.<br />Donc <math>\left( \frac12\right)^d + \left( \frac14\right)^d = 1</math>, ce qui conduit à : <math>d = \frac{\ln\varphi}{\ln2}</math>, où <math>\varphi = \frac{1+\sqrt5}2</math> est le [[nombre d'or]].

== Exemples ==
[[Image:Sierpinski deep.svg|vignette|Triangle de Sierpinski, de dimension de Hausdorff <math>\frac{\ln{3}}{\ln{2}} ~</math>..]]
* Un ensemble dénombrable est de dimension nulle.
* Le [[cercle]] est de dimension de Hausdorff 1.
* Dans <math>{\R^n}</math>, la dimension d'un ensemble de [[mesure de Lebesgue]] non nulle est ''n''.
* Le [[graphe d'une fonction]] d'une variable réelle lipschitzienne est de dimension de Hausdorff 1. Si la fonction est a-höldérienne, alors la dimension de Hausdorff de son graphe est comprise entre 1 et 2 - a.
* La dimension de Hausdorff de l'[[Ensemble de Cantor|ensemble triadique de Cantor]] est <math>\frac{\ln{2}}{\ln{3}} ~</math>.
* La dimension de Hausdorff du [[triangle de Sierpiński]] est <math>\frac{\ln{3}}{\ln{2}} ~</math>.
* La dimension de Hausdorff du [[tapis de Sierpiński]] est <math>\frac{\ln{8}}{\ln{3}} ~</math>.
* La trajectoire du [[mouvement brownien]] en dimension 2 est [[presque sûrement]] de dimension 2.
* La [[frontière (topologie)|frontière]] de l'[[ensemble de Mandelbrot]] est de dimension 2<ref>{{en}} Mitsuhiro Shishikura, « {{lang|en|The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets}} », ''Ann. of Math.'', vol. 147, 1998, p. 225-267 (publication originale de 1991 [http://www.math.sunysb.edu/preprints.html Stony Brook IMS Preprint], {{Arxiv2|math.DS/9201282}}).</ref>.
* Le chou romanesco est de dimension 8/3

==Notes et références==
{{références}}

== Annexes ==
{{Autres projets
|commons=Fractal
|commons titre=Fractales
}}

=== Bibliographie ===
{{en}} Dierk Schleicher, « Hausdorff dimension, its properties and its surprises », ''[[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]'', vol. 114, juin-juillet 2007, {{p.|509-528}}. {{Arxiv|math/0505099}}

=== Articles connexes ===
* [[Dimension de Minkowski–Bouligand|Dimension de Minkowski]]
* [[Dimension fractale]]
* [[Dimension topologique]]
* [[Fractale]]
* {{Lien|trad=Frostman lemma|Lemme de Frostman}}
* [[Liste de fractales par dimension de Hausdorff]]
* [[Théorème du bagel au pavot]]

=== Liens externes ===
* [http://pomux.free.fr/corriges-1980/pdf/m80tm2ea.pdf Une introduction] à la notion de dimension de Hausdorff sous forme de problème
* [http://blog.crdp-versailles.fr/peronno/public/projet-hausdorff.pdf Un mémoire de licence traitant avant tout de la dimension de Hausdorff]

{{Palette|Fractales}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Dimension|Hausdorff]]
[[Catégorie:Théorie de la mesure]]
[[Catégorie:Fractale]]