Voir la source de Dual topologique

{{homon|Dualité (mathématiques)|Dualité}}
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[analyse (mathématiques)|analyse]], le '''dual topologique''' est le [[Sous-espace vectoriel|sous-espace]] du [[Espace dual|dual algébrique]] constitué des [[Forme linéaire#Formes linéaires continues|formes linéaires continues]].
== Définition ==
Soit ''E'' un [[espace vectoriel topologique]] sur le corps ℝ ou ℂ.

Le dual topologique ''E''' de ''E'' est le sous-espace vectoriel de ''E''* (le dual algébrique de ''E'') formé des [[Forme linéaire|formes linéaires]] [[Continuité (mathématiques)|continues]].

Si l'espace est [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]], le dual topologique coïncide avec le dual algébrique, puisque dans ce cas toute forme linéaire est continue.

Mais dans le cas général, ''l'inclusion du dual topologique dans le dual algébrique est stricte.''
{{Démonstration|titre=Exemple|contenu=
Soit ''D'' l'espace vectoriel réel des fonctions dérivables de l'intervalle [0, 1] dans ℝ, muni de la norme de la [[convergence uniforme]].
:<math>\|f\|=\sup_{x \in [0,1]}|f(x)|.</math>
Soit ''p'' la forme linéaire sur ''D'' définie par
:<math>p(f)=f'(0).</math>
Soit par ailleurs la suite <math>(f_n)_{n>0}</math> de fonctions de ''D'' définie par <math>f_n(x)=x(1-x)^n</math>. On constate facilement que
:<math>\lim_{n \to\infty}\|f_n\|=0</math>
(la fonction <math>f_n</math> est positive et maximale pour ''x'' = 1/(''n'' + 1)).

Mais <math>p(f_n)=1</math> pour tout ''n'' alors que <math>p(f_n)</math> devrait tendre vers ''p''(0) = 0 si ''p'' était continue.}}

== Topologies duales ==
Dans certains cas, on peut définir canoniquement diverses topologies sur le dual.
=== Topologie faible du dual ===
À tout vecteur <math>v</math> de <math>E</math> on peut faire correspondre l'application <math>p_v</math> de <math>\scriptstyle E^\prime</math> dans ℝ définie par <math>p_v(f)=|f(v)|</math>.
Cette application <math>p_v</math> est une [[semi-norme]] sur <math>\scriptstyle E^\prime</math>. La topologie d'[[espace localement convexe]] définie par cette famille de semi-normes s'appelle la [[topologie faible]] du dual. C'est la topologie la moins fine rendant continues les applications ''f↦f''(''v'').

Par construction, cette topologie sur ''E''' est [[Espace séparé|séparée]].

=== Topologie forte sur le dual d'un espace normé ===
Si {{math|''E''}} est un [[espace vectoriel normé]], on peut définir une ''norme duale''<ref>{{refnec|date=janvier 2017|On pourrait aussi l'appeler ''norme polaire''}} au vu des développements de l'article sur la [[jauge d'un convexe]]. Une norme est en effet une jauge dont la jauge polaire n'est autre que la norme duale.</ref> ║ . ║''’'' sur ''{{math|E'}}'' par

<center><math> \|f\|^\prime=\sup_{v \in E,v \ne 0 } \frac{|f(v)|}{\|v\|}.</math></center>
(C'est un cas particulier de la [[norme d'opérateur]].)

''{{math|E'}}'' muni de cette norme est appelé le dual fort de {{math|''E''}}. C'est un [[espace de Banach]] (cf. proposition 4 du [[Espace vectoriel normé#Complétude|§ « Complétude » de l'article « Espace vectoriel normé »]]).

Il est important de remarquer que même en dimension finie, les espaces normés {{math|''E''}} et
''{{math|E'}}'', qui sont algébriquement isomorphes, ne sont pas isométriques en général.
Par exemple, sur ℝ{{exp|''n''}}, les normes <math>\sum_{i=1}^n\vert x_i\vert</math> et
<math>\sup_{1\le i\le n}\vert x_i\vert</math> sont duales l'une de l'autre, mais ne sont pas isométriques
dès que ''n'' ≥ 3.

Le [[théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki]] affirme que la [[boule unité]] fermée du dual fort d'un espace de Banach est [[Topologie faible#Topologie faible-* du dual|*-faiblement]] [[Compacité (mathématiques)|compacte]].

On déduit alors du [[théorème de Krein-Milman]] que si la boule unité d'un espace de Banach {{math|''E''}} n'a aucun point extrémal (par exemple si {{math|''E''}} = [[Espace L1|{{math|L{{1}}([0, 1])}}]] ou {{math|''E''}} = ''c''{{ind|0}}, l'espace des suites de limite nulle) alors {{math|''E''}} n'est le dual d'aucun espace.

L'[[Espace de suites lp|espace {{math|ℓ{{1}}}}]], lui, est le dual de ''c''{{ind|0}} et de nombreux autres espaces<ref>{{article|lang=en|prénom=D.|nom=Freeman|prénom2=E.|nom2=Odell|prénom3=Th.|nom3=Schlumprecht|titre=The universality of {{math|ℓ{{ind|1}}}} as a dual space|lien périodique=Mathematische Annalen|revue=Math. Annalen.|vol=351|année=2011|numéro=1|p.=149-186|url=http://www.math.tamu.edu/~thomas.schlumprecht/fos4.pdf|format=pdf}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|prénom=Dale E.|nom=Alspach|titre=A {{math|ℓ{{1}}}} predual which is not isometric to a quotient of {{math|''C''(α)}}|lien périodique=ArXiv|revue=ArXiv|année=1992|url=https://arxiv.org/abs/math/9204215}}.</ref>, dont {{Lien|trad=c space|Espace c|texte=celui des suites convergentes}} ou, [[Compactifié d'Alexandroff|plus généralement]], des fonctions continues sur un compact dénombrable<ref>Pour une étude plus systématique, voir {{Article|prénom=Gilles|nom=Godefroy|titre=Espace de Banach, existence et unicité de certains préduaux|lien périodique=Annales de l'Institut Fourier|revue=Ann. Inst. Fourier|vol=28|année=1978|p.=87-105|url=http://aif.cedram.org/item?id=AIF_1978__28_3_87_0}}.</ref>.

== Dual topologique d'un espace préhilbertien ==
Lorsque ''H ''est un [[espace préhilbertien]]<ref>Dans le cas complexe, deux conventions coexistent (voir l'article [[Forme sesquilinéaire complexe]]) : produit scalaire ⟨ ''v'', ''w ''⟩ linéaire par rapport à ''v ''et semi-linéaire par rapport à ''w'', comme dans les articles [[Espace préhilbertien]] et [[Espace de Hilbert]], ou l'inverse, comme ici et dans l'article [[Théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)|Théorème de représentation de Riesz]]. La définition de l'application ''j ''varie naturellement en fonction de la convention choisie.</ref>, il existe une [[isométrie]] [[Forme sesquilinéaire complexe|semi-linéaire]] (donc ℝ-linéaire) [[Canonique (mathématiques)|canonique]] ''{{math|j}} ''de ''H ''dans ''H' '': pour tout élément ''{{math|v}} ''de ''H'', {{math|''j''(''v'')}} est la forme linéaire continue définie par :<center><math>\forall w \in H, j(v)(w)=\langle v,w\rangle.</math></center>
On démontre, grâce au [[théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)|théorème de représentation de Riesz]], une propriété fondamentale :
{{énoncé|{{ancre|Dual topologique d'un espace de Hilbert}}''Si H est un [[espace de Hilbert]], l'[[Injection (mathématiques)|injection]] {{math|j}} de H dans H' est [[surjective]].''}}
On en déduit (cf. [[Espace préhilbertien#Structure du dual|§ « Structure du dual » de l'article « Espace préhilbertien »]]) : 
{{énoncé|''Pour tout espace préhilbertien H, l'injection {{math|j}} de H dans H' est d'[[Image d'une application|image]] [[Partie dense|dense]].''}}

== Bidual (topologique) ==
Alors que la notion purement algébrique du bidual ne présente aucune ambiguïté, il en est tout autrement pour les notions topologiques. En effet, selon la topologie retenue sur le dual, l'ensemble des formes linéaires continues sur ce dual pourra être plus ou moins gros.

=== Bidual d'un espace de Banach et réflexivité ===

Dans le cas d'un espace vectoriel normé ''E'', ce qu'on appelle en général le bidual, noté ''E<nowiki>''</nowiki>'', est le dual du dual fort.

Il existe une application naturelle de ''E ''dans son bidual, l'application d'évaluation
<center><math>J:E\rightarrow E''\qquad \forall x\in E, \,\forall \ell \in E', \, J(x)(\ell)=\ell(x) </math></center>
qui constitue une injection [[isométrie|isométrique]] d'après le [[théorème de Hahn-Banach]]. Lorsque ''J'' est une bijection, l'espace ''E ''est dit [[Espace réflexif|réflexif]].

Exemples : voir « [[Espace de suites ℓp#Propriétés|Propriétés des espaces de suites ℓ{{exp|''p''}}]] » et  « [[Espace Lp#Dualité|Dualité des espaces {{math|L{{exp|''p''}}}}]] ».

;[[Théorème de Goldstine]]<ref>{{Bourbaki-Topologie}}, chap. 4, § 5, Prop. 5</ref>.
:Pour tout espace vectoriel normé réel ''E'', la boule unité de ''E<nowiki>''</nowiki> ''est l'adhérence pour la [[Topologie faible#Topologie faible-* du dual|topologie σ(''E<nowiki>''</nowiki>'', ''E<nowiki>'</nowiki>'')]] (la topologie faible-* sur ''E<nowiki>''</nowiki>'') de l'image par ''J ''de la boule unité de ''E''.

== Notes et références ==
<references/>

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
*{{Lien|trad=Discontinuous linear map|Application linéaire non continue}}
* [[Dual d'un espace vectoriel topologique]]

=== Bibliographie ===
{{Rudin}}

{{Palette|Analyse fonctionnelle}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Espace vectoriel topologique]]