Voir la source de Empilement compact

{{Redirect|Arrangement compact|homonymie=Arrangement (homonymie)|autres=Arrangement}}
{{voir homonymes|Empilement}}

[[Image:Citrus fruits.jpg|thumb|upright=1.5|Le moyen le plus efficace pour ranger des [[cercle]]s de différentes tailles n'est pas évident, comme l'illustrent ces rondelles d'[[agrume]]s.]]
Un '''empilement compact''' d'une collection d'objets est un agencement de ces objets de telle sorte qu'ils occupent le moins d'espace possible (donc qu'ils laissent le moins de vide possible).

Le problème peut se poser dans un [[espace vectoriel|espace]] ([[espace euclidien|euclidien]] ou [[Géométrie non euclidienne|non]]) de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] {{mvar|n}} quelconque, les objets étant eux-mêmes de dimension {{mvar|n}}. Les applications pratiques sont concernées par les cas {{nobr|1={{mvar|n}} = 2}} ([[plan (mathématiques)|plan]] et autres [[surface (géométrie analytique)|surfaces]]) et {{nobr|1={{mvar|n}} = 3}} ([[trois dimensions|espace ordinaire]]).

Les objets, généralement considérés comme indéformables, sont caractérisés par leurs formes et par la distribution de leurs tailles (multiplier toutes les tailles par un même facteur ne change rien au problème). Le problème le plus classique est celui de l'empilement compact d'une infinité de [[n-sphère|{{mvar|n}}-sphères]] identiques ({{nobr|1={{mvar|n}} = 2}} : [[empilement de cercles]] identiques dans le plan ; {{nobr|1={{mvar|n}} = 3}} : empilement de sphères identiques dans l'espace). De très nombreux problèmes plus généraux font varier la forme des objets, la distribution de leurs tailles, leur déformabilité ou leurs interactions mutuelles.

L'efficacité d'un empilement est caractérisée par sa [[compacité (cristallographie)|compacité]] {{mvar|c}}, définie comme le rapport de l'espace occupé par les objets à l'espace dans lequel on les a empilés (<math>0<c\leqslant1</math>). On l'appelle aussi ''densité'' (qu'on note alors {{mvar|d}}), qui se confond effectivement avec la [[masse volumique|densité ordinaire]] pour {{nobr|1={{mvar|n}} = 3}} et la [[Distribution spatiale (physique)|densité surfacique]] pour {{nobr|1={{mvar|n}} = 2}} si l'on suppose que le matériau des objets est de densité uniforme égale à un.

== Empilements compacts  dans le plan ==

=== Empilements de cercles identiques ===
[[Image:Circle packing (hexagonal).svg|thumb|200px|[[Diagramme]] montrant un empilement compact de cercles dans un espace carré. L'agencement de base en dimension 2 est de [[hexagone|forme hexagonale]].]]
Sur un plan, on peut disposer au maximum six cercles de rayon {{math|''r''}} autour d'un cercle de même rayon. Les centres de trois cercles en contact définissent un [[triangle]] équilatéral puisqu'ils sont distants de {{math|2''r''}} les uns des autres. Chaque angle valant {{unité|60°}} ({{nobr|{{sfrac|π|3}} [[radian|rad]]}}), on peut mettre ainsi six triangles avec un sommet en commun pour former un [[hexagone]] régulier, puis continuer ainsi de proche en proche.

La compacité (ou densité surfacique) de cet arrangement est :
:<math>d=\frac{\pi}{2\sqrt3}\simeq0{,}9069.</math>
{{démonstration|
Considérons quatre cercles en contact deux à deux. Les centres de ces cercles forment un losange de côté {{math|2 ''r''}}. On peut ainsi découper le plan en un pavage de losanges définissant un réseau.

Chaque losange comprend deux portions de disque d'[[Cercle#Définitions|angle au centre]] {{math|2π/3}} et deux portions de disque d'angle au centre {{math|π/3}}. La somme de ces quatre angles au centre est ainsi égale à {{math|2π}}, donc la somme des aires des quatre portions de disque est égale à la surface d'un disque complet, soit {{math|π ''r''{{2}}}}.

Le losange lui-même a pour aire <math>2\sqrt3\ r^2</math>. Les disques occupent donc une proportion de surface égale à <math>d=\frac{\pi\ r^2}{2\sqrt3\ r^2}</math>.}}

On comprend intuitivement que c'est l'organisation la plus compacte possible en rangeant des billes de même volume dans une enceinte de taille appropriée, mais ce n'est pas une démonstration. En 1773, [[Joseph-Louis Lagrange]] prouva qu'aucun arrangement régulier n'est plus dense que l'empilement hexagonal. En 2010, Chang et Wang en publient une preuve ne supposant pas la régularité de l'empilement tenant sur quatre pages<ref>{{Article|langue=en|auteur1=Hai-Chau Chang, Lih-Chung Wang|titre=A Simple Proof of Thue’s Theorem on Circle Packing|périodique=Arxiv|date=2010|lire en ligne=https://arxiv.org/pdf/1009.4322.pdf}}</ref>{{,}}<ref name=":0">{{Article|auteur1=David Gontier|titre=EMPILEMENT DE SPHÈRES/BOULES, RÉSULTATS DE MARYNA VIAZOVSKA|périodique=Publications école polytechnique|date=2023|lire en ligne=https://culturemath.ens.fr/sites/default/files/2023-05/2023_05_13_CPGE_ENS_MarynaViazovska.pdf}}</ref>.

=== Autres empilements de cercles ===
{{Article détaillé|Empilement de cercles}}
Le résultat précédents ne vaut que pour des cercles identiques ; pour des cercles de tailles différentes la compacité maximale est supérieure (voir la première image), et peut même atteindre 100 % pour une infinité de cercles ayant une distribution appropriée des tailles (les vides étant progressivement remplis par des cercles plus petits).

=== Empilements de demi-cercles ===
Il existe des empilements de demi-cercles identiques, ou plutôt, de demi-disques, de densité strictement supérieure à la densité maximale <math>\frac{\pi}{2\sqrt3}</math> des empilements de disques identiques<ref>{{Article|auteur1=Hind Taibi, Emilie Mboussa, Camille Coustillet|titre=Empilements de demi-disques dans le plan|périodique=Quadrature|numéro=129|date=2023|lire en ligne=https://www.quadrature-mag.fr/catalogue|accès url=payant|pages=13-19}}</ref>.

== Empilement compact de sphères identiques ==
[[fichier:Empilement compact plan.svg|vignette|upright=0.7|gauche|Arrangement en [[wikt:quinconce|quinconce]] d'un plan compact.]]
[[fichier:Empilement compact.svg|vignette|upright=1.5|Deux manières d'empiler trois plans compacts.]]
[[Fichier:Pyramid of 35 spheres animation.gif|thumb|Empilement compact de 35 [[sphère]]s.]]
[[fichier:Fortres Monroe 1861 - Cannon-balls.jpg|thumb|Empilement compact de [[boulet]]s de canons empilés sous les murs du [[fort Monroe]] à [[Hampton (Virginie)]].]]
Considérons trois sphères de même diamètre en contact sur un plan (plan A). On peut placer une quatrième sphère, toujours du même diamètre, posée sur le creux entre les trois premières, les centres des sphères formant un [[tétraèdre]] régulier.

En positionnant ainsi des sphères dans les creux du plan compact A, on obtient un deuxième plan compact (plan B). Lorsque l'on ajoute un troisième plan, on peut mettre les sphères soit en correspondance avec celles du premier plan (plan A), soit dans une troisième possibilité de placement définissant un nouveau plan compact (plan C). Et ainsi de suite : superposition (régulière ou non) de plans A, B ou C (deux lettres consécutives devant toujours être différentes).

En 1611, [[Johannes Kepler]] conjecture que c'est l'arrangement spatial le plus compact. En 1831, [[Carl Friedrich Gauss]] démontre la  [[conjecture de Kepler]] sous réserve que l'arrangement soit régulier (sur un réseau)<ref>{{Harvsp|Conway|Sloane|1999|loc=chap. 1, p. 8}}.</ref>. Le cas général est démontré par [[Thomas Hales]] en 1998 (suivi de quatre années de vérifications par des mathématiciens) et [[Assistant de preuve|formellement prouvé]] en 2014, toujours par Thomas Hales <ref name=":0" />.

{{clr|left}}
Il existe ainsi trois types de plans compacts A, B et C qui peuvent en se combinant engendrer une infinité de types d'empilements compacts, qui constituent un exemple de [[Polymorphisme_(chimie)#Polytypisme|polytypisme]] :
* A-B-A-B… empilement dit « hexagonal compact » ;
* A-B-C-A-B-C… empilement dit « cubique compact » ou « cubique à faces centrées » du nom du [[réseau de Bravais]] qui lui correspond ;
* A-B-A-C-A-B-A-C… empilement dit « double hexagonal » ;
* A-B-C-B-A-B-C-B… ;
* …
Quel que soit l'arrangement, chaque sphère est entourée de 12 autres sphères et la densité volumique vaut dans tous les cas :
: <math>d=\frac{\pi}{3\sqrt2}\simeq0{,}740\,48</math>, voir la {{OEIS|A093825}}.

{{démonstration|déroulante=non|
Le calcul peut se faire de manière simple sur un empilement [[cubique à faces centrées]] et sur un empilement hexagonal compact (voir le lien externe pour le calcul de la compacité). Pour les autres empilements compacts, il suffit de découper la structure en groupes de trois plans pour se retrouver dans l'un des cas précités.}}

== Empilement compact de sphères identiques en dimension ''n'' ==
[[Image:hcp.svg|thumb|Agencement en dimension 3 : empilement compact de sphères dans un espace en prisme hexagonal.]]
[[Image:ccp.svg|thumb|Agencement en dimension 3 : empilement compact de sphères dans un espace cubique.]]
Dans les espaces euclidiens de dimension supérieure à 3, le problème d'empilement compact se généralise aux [[n-sphère|hypersphères]]. Les densités des arrangements réguliers les plus compacts sont connues jusqu'en dimension 8 et pour la dimension 24 (voir l'article « [[Constante d'Hermite]] »).

En 2016, [[Maryna Viazovska]] annonce que le {{lien|langue=en|trad=E8 lattice|fr=réseau E8|texte=réseau E<sub>8</sub>}} fournit l'empilement optimal (pas forcément régulier) en dimension 8<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=Frank Morgan|titre=Sphere Packing in Dimension 8|url=https://www.huffpost.com/entry/sphere-packing-in-dimensi_b_9496736|site=The Huffington Post|date=2016-03-21|consulté le=2016-04-10}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=de|auteur1=Andreas Loos|prénom1=Andreas|nom1=Loos|titre=Mathematik: So stapeln Mathematiker Melonen|périodique=Die Zeit|date=21 mars 2016|issn=0044-2070|lire en ligne=https://www.zeit.de/wissen/2016-03/mathematik-kugeln-dicht-packen-achte-dimension|consulté le=2016-04-10}}</ref>, et peu après, en collaboration avec d'autres mathématiciens, elle produit une preuve similaire montrant que le [[réseau de Leech]] est optimal pour la dimension 24<ref>{{Lien web|langue=en-US|nom1=Grossman|prénom1=Lisa|titre=New maths proof shows how to stack oranges in 24 dimensions|url=https://www.newscientist.com/article/2082328-new-maths-proof-shows-how-to-stack-oranges-in-24-dimensions/|site=New Scientist|date=2016-03-28|consulté le=2016-04-10}}</ref>{{,}}<ref name="quanta">{{Article|langue=en|nom1=Klarreich|prénom1=Erica|titre=Sphere Packing Solved in Higher Dimensions|url=https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions|périodique=Quanta Magazine|date=30 mars 2016|consulté le=23 mars 2021}}</ref>. Elle reçoit la [[médaille Fields]] pour ces découvertes en 2022<ref>{{Article|langue=en-US|prénom1=Kenneth|nom1=Chang|titre=Maryna Viazovska: Second to none in any dimension.|périodique=The New York Times|date=2022-07-05|issn=0362-4331|lire en ligne=https://www.nytimes.com/2022/07/05/science/maryna-viazovska-math.html|consulté le=2022-07-05}}</ref>{{,}}<ref name=":0" />.

Voici une table des valeurs des densités maximales <math>\Delta_n</math> connues ou supposées, en commençant par <math>\Delta_n/V_n</math> où <math>V_n=\frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}</math> est le volume de la [[N-sphère|sphère de dimension]] <math>n</math><ref>{{Article|auteur1=François Sigrist|titre=Empilements et symétries|périodique=PLOT|numéro=40|pages=19|date=Octobre 1987|lire en ligne=https://bibnum.publimath.fr/APL/APL87020.pdf}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=en |auteur=N. J. A. Sloane, Feb. 10 2013, and Andrey Zabolotskiy, Dec. 30 2023 |titre=Table of maximal density of a packing of equal spheres in n-dimensional Euclidean space |url=https://oeis.org/A093825/a093825_1.txt}}</ref>.
{| class="wikitable"
|+
!Dimension
!Valeur de <math>\Delta_n/V_n</math>
!Valeur de <math>\Delta_n</math>
!Valeur approchée
!Date de découverte
!Date de démonstration
(empilement supposé
régulier)
!Date de démonstration
(empilement non supposé régulier)
!OEIS
|-
|2
|<math>\frac1{2\sqrt3}</math>
|<math>\frac {\pi}{2\sqrt3}</math>
|0,9069
|
|1773 ([[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]])
|1943 (Toth)
|{{OEIS2C|A093766}}
|-
|3
|<math>\frac1{4\sqrt2}</math>
|<math>\frac {\pi}{3\sqrt2}</math>
|0,7404
|1611 ([[Johannes Kepler|Kepler]])
|1831 ([[Carl Friedrich Gauss|Gauss]])
|1998 ([[Thomas Hales|Hales]])
|{{OEIS2C|A093825}}
|-
|4
|<math>\frac1{8}</math>
|<math>\frac {\pi^2}{16}</math>
|0,6168
|1872
|
|
|{{OEIS2C|A222068}}
|-
|5
|<math>\frac1{8\sqrt2}</math>
|<math>\frac {\pi^2}{15\sqrt2}</math>
|0,4652
|1877
|
|
|{{OEIS2C|A222069}}
|-
|6
|<math>\frac1{8\sqrt3}</math>
|<math>\frac {\pi^3}{48\sqrt3}</math>
|0,3792
|1925
|
|
|{{OEIS2C|A222070}}
|-
|7
|<math>\frac1{16}</math>
|<math>\frac {\pi^3}{105}</math>
|0,2952
|1926
|
|
|{{OEIS2C|A222071}}
|-
|8
|<math>\frac1{16}</math>
|<math>\frac {\pi^4}{2^4.4!}</math>
|0,2563
|1934
|
|2016 ([[Maryna Viazovska|Viazovska]])
|{{OEIS2C|A222072}}
|-
|12
|<math>\frac1{27}</math>
|<math>\frac{\pi^6}{3^3.6!}</math>
|0,0495
|
|
|
|
|-
|16
|<math>\frac1{16}</math>
|<math>\frac{\pi^8}{2^4.8!}</math>
|0,0147
|
|
|
|
|-
|24
|<math>1</math>
|<math>\frac{\pi^{12}}{12!}</math>
|0,0019
|
|
|2016 ([[Maryna Viazovska|Viazovska]])
|{{OEIS2C|A260646}}
|}
Asymptotiquement, la densité <math>\Delta_n</math> de l'arrangement le plus compact (régulier ou non) décroît exponentiellement en fonction de la dimension <math>n</math>. Il n'y a pas de raison de penser que les arrangements les plus denses soient réguliers en général. Néanmoins le meilleur encadrement connu sur <math>\Delta_n</math> est le même dans les deux cas<ref>{{Harvsp|Conway|Sloane|1999|loc=chap. 1, p. 20}}.</ref> :
:<math>\frac1{2^{n+o(n)}}\leqslant \Delta_n\leqslant\frac1{2^{0{,}5990\,n+o(n)}}</math>

== Empilement aléatoire compact de cercles ou de sphères identiques ==
{{article détaillé|Empilement aléatoire compact}}

Un empilement aléatoire compact est un {{page h'|empilement}} obtenu par compaction d'un ensemble d'objets (ou de figures géométriques) dont les positions initiales sont [[Hasard|aléatoires]]. Un empilement aléatoire de sphères identiques s'obtient par exemple en mettant des billes dans un sac, et on en augmente la compacité en secouant le sac. On peut aussi réaliser des simulations sur ordinateur. 

La compacité maximale ainsi obtenue est inférieure à celle de l'empilement compact des mêmes objets ou figures : pour des sphères identiques elle vaut environ 0,640 (contre 0,740 pour l'empilement compact), et pour des cercles identiques 0,853 (contre 0,907).

== Empilements de polytopes identiques ==
{{section en travaux|Ariel Provost|date=24 septembre 2022}}
L'empilement compact de [[polytope]]s identiques, notamment de [[polygone]]s identiques (dans le [[plan (mathématiques)|plan]]) ou de [[polyèdre]]s identiques (dans l'[[Trois dimensions|espace]]), peut avoir une compacité inférieure ou supérieure à celle de {{mvar|n}}-sphères. Cette compacité peut même être égale à un, auquel cas on dit que les polytopes pavent leur espace

=== Pavage du plan ===
{{article détaillé| Pavage du plan}}

=== Pavage de l'espace ===
{{article détaillé| Pavage de l'espace}}

== Applications en cristallographie ==
En [[cristallographie]], les atomes ou les ions peuvent s’organiser en couches compactes. C'est notamment le cas pour les structures métalliques, les cristaux n'étant formés que d'un seul type de particules. Si on les modélise par des sphères, l’empilement est compact lorsque les sphères sont en contact.

Les deux principaux types d'empilement compact sont :
* [[Système cristallin hexagonal|hexagonal compact]] hc (ou hcp pour ''Hexagonal close-packed'') : les couches d’atomes s’empilant suivant l’ordre '''ABAB''', le [[polyèdre de coordination]] des atomes est un [[Orthobicoupole hexagonale|anticuboctaèdre]] ;
* [[cubique à faces centrées]] cfc (ou ccp pour ''cubic close-packed'') : les couches d’atomes s’empilant suivant l’ordre '''ABC''', le polyèdre de coordination des atomes est un [[cuboctaèdre]].

Exemples :
* cfc : l'[[austénite]], l'[[aluminium]].

La densité volumique porte le nom de [[compacité (cristallographie)|compacité]]. Le taux de remplissage est d'environ 74 [[%]] (26 % de vide).

=== Structure vs réseau ===
Dans la [[Structure cristalline|structure]] cubique compacte, les atomes sont situés en correspondance des nœuds du [[réseau de Bravais|réseau]] cubique à faces centrées et pour cette raison la structure cubique compacte est souvent dite aussi structure cubique à faces centrées.

En revanche, dans la [[Structure cristalline|structure]] hexagonale compacte les atomes ne sont pas sur les nœuds du [[réseau de Bravais|réseau]] mais en position ⅓,⅔,¼ et ⅔,⅓,¾, qui sont équivalents dans le [[groupe d'espace]] (''P''6<sub>3</sub>/''mmc'', n° 194). Le [[réseau de Bravais|réseau]] de la structure hexagonale compacte est un réseau hexagonal primitif.

== Notes et références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|lang=en|lien auteur=John Horton Conway|prénom=John Horton|nom=Conway|auteur2=[[Neil Sloane]]|titre=Sphere Packings, Lattices and Groups|numéro d'édition=3|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1999|année première édition=1993|url={{Google Livres|upYwZ6cQumoC|page=20}}}}
* {{Article|lang=en|auteur=Thomas Hales|url=http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v162-n3-p01.pdf|titre=A proof of the Kepler conjecture|revue=[[Annals of Mathematics|Ann. of Math.]]|vol=162|année=2005|p.=1065-1185}}
* {{Article|auteur=[[Joseph Oesterlé]]|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1989-1990__32__375_0|titre=Empilements de sphères|revue=[[Séminaire Bourbaki]]|vol=32|année=1989-1990|numéro=727}}
* {{Article|auteur=Joseph Oesterlé|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1998-1999__41__405_0|titre=Densité maximale des empilements de sphères en dimension 3|revue=Séminaire Bourbaki|vol=41|année=1998-1999|numéro=863}}

=== Articles connexes ===
* [[Empilement aléatoire compact]]
* [[Structure cristalline]]
* [[Empilement de cercles]]
* [[Théorème d'empilement de cercles]]
* [[Porisme de Steiner]]
* [[Maryna Viazovska]]
* [[Problème de bin packing|Problème de ''bin packing'']]

=== Liens externes ===
* [http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/chimie/06/deug/CHIM103B/compact.html Calcul de la compacité]
* {{Lien web|auteur=Souhir Boujday|url=http://www.edu.upmc.fr/chimie/empilements_compacts|titre=Empilements compacts|site=[[UPMC]]}}
* {{Lien web|lang=en|site=Matifutbol|auteur=Herminio López Arroyo|url=http://www.matifutbol.com/en/balls.html|titre=Let's give away some balls}}{{Commentaire biblio SRL|Exemple concret d'empilement compact.}}

{{Palette|Empilement}}

{{Portail|géométrie|matériaux|minéraux et roches}}

[[Catégorie:Empilement]]
[[Catégorie:Géométrie discrète]]
[[Catégorie:Cristallographie]]
[[Catégorie:Sphère]]