Voir la source de Espace Lp

{{Titre mis en forme|Espace {{math|L{{exp|''p''}}}}}}
{{Ébauche|analyse}}
En [[mathématiques]], un '''espace {{math|L{{exp|''p''}}}}''' est un [[espace vectoriel]] de classes des [[fonction (mathématiques)|fonctions]] dont la [[Fonction puissance|puissance d'exposant {{math|''p''}}]] est [[Intégrale de Lebesgue|intégrable au sens de Lebesgue]], où {{math|''p''}} est un [[nombre réel]] strictement positif. Le passage à la limite de l'exposant aboutit à la construction des [[espace L∞|espaces {{math|L{{exp|∞}}}}]] de [[Partie bornée|fonctions bornées]]. Les espaces {{math|L{{exp|''p''}}}} sont appelés '''espaces de Lebesgue'''.

Identifiant les fonctions qui ne diffèrent que sur un [[ensemble négligeable]], chaque espace {{math|L{{exp|''p''}}}} est un [[espace de Banach]] lorsque l'exposant est supérieur ou égal à 1. Lorsque {{math|0 < ''p'' < 1}}, l'intégrale définit une [[quasi-norme]] qui en fait un [[espace complet]]. Il existe en outre une [[Dual topologique|dualité]] entre les espaces d'exposants {{math|''p''}} et {{math|''q''}} conjugués, c'est-à-dire tels que {{math|1={{fraction|1|''p''}} + {{fraction|1|''q''}} = 1}}.

Les espaces {{math|L{{exp|''p''}}}} généralisent les [[espace L2|espaces {{math|L{{exp|2}}}}]] des fonctions de [[carré intégrable]], mais aussi les [[espace de suites lp|espaces {{math|ℓ{{exp|''p''}}}}]] de [[suite (mathématiques)|suites]] de puissance {{math|''p''}}-ième [[Convergence absolue|sommable]].

Diverses constructions étendent encore cette définition à l'aide de [[distribution (mathématiques)|distributions]] ou en se contentant d'une intégrabilité locale.

Tous ces espaces constituent un outil fondamental de l'[[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] en permettant la résolution d'équations par approximation avec des solutions non nécessairement [[dérivabilité|dérivables]] ni même [[Continuité (mathématiques)|continues]].

== Définition ==
=== Exposant fini ===
La [[norme (mathématiques)#En dimension finie|norme {{math|''p''}}]] sur l'espace vectoriel de dimension finie {{math|'''R'''{{exp|''n''}}}} s'étend aux fonctions continues sur un segment {{math|[''a'', ''b'']}} par
{{Centrer|<math>\|f\|_p = \left(\int_a^b |f(t)|^p\, \mathrm d t\right)^{1/p}</math>}}
et plus généralement aux [[fonction mesurable|fonctions mesurables]] sur un [[espace mesuré]] {{math|(''X'', ''A'', ''μ'')}} et à valeurs réelles ou [[nombre complexe|complexes]] et de puissance {{math|''p''}} intégrable par :
{{Centrer|<math>\|f\|_p = \left(\int_X |f|^p\, \mathrm d \mu\right)^{1/p}.</math>}}
Sur un domaine {{math|''X''}} d'un [[espace euclidien]], la mesure est en général [[mesure de Lebesgue|celle de Lebesgue]].

Or une fonction positive est d'intégrale nulle si et seulement si elle s'annule presque partout, c'est-à-dire sur le [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]] d'un [[ensemble négligeable]]. L'espace {{math|L{{exp|''p''}}(''X'', ''A'', ''μ'')}} est alors défini comme [[Semi-norme#Norme et espace quotient|quotient]] de l'espace des fonctions mesurables {{math|''p''}} intégrables, souvent noté : {{math|ℒ{{exp|''p''}}(''X'', ''A'', ''μ'')}}, par le [[sous-espace vectoriel]] des fonctions presque partout nulles. Ce quotient identifie donc les fonctions qui sont dans la même classe pour la [[relation d'équivalence]] « f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ».

Dans le cadre de la [[Intégrale de Riemann|théorie de Riemann]], l'espace {{math|L{{exp|''p''}}('''R''')}} peut aussi se définir par un procédé de [[Espace complet|complétion]].

=== Exposant infini ===
{{Article détaillé|Espace L∞{{!}}Espace {{math|L{{exp|∞}}}}}}

L'espace {{math|ℒ{{exp|∞}}(''X'', ''A'', ''μ'')}} est défini comme l'espace vectoriel des fonctions μ-essentiellement bornées (c'est-à-dire les fonctions bornées sur le complémentaire d'un ensemble négligeable), muni de la [[semi-norme]] « [[Borne supérieure et borne inférieure|borne supérieure]] essentielle ».

Ensuite, l'[[espace vectoriel normé]] {{math|L{{exp|∞}}(''X'', ''A'', ''μ'')}} est, comme précédemment, le quotient de {{math|ℒ{{exp|∞}}(''X'', ''A'', ''μ'')}} par le sous-espace des fonctions nulles presque partout.

== Exemples ==

Si ''X'' est l'ensemble {{math|'''N'''}} des [[Entier naturel|entiers naturels]], muni de la [[Tribu (mathématiques)#Quelques exemples|tribu discrète]], et que ''μ'' est la [[mesure de comptage]], l'espace {{math|L{{exp|''p''}}(''X'', ''A'', ''μ'')}} n'est autre que l'[[Espace de suites lp|espace ℓ{{exp|''p''}}('''N''')]] des suites réelles dont la puissance d'exposant {{math|''p''}} est sommable.

Avec {{math|1=''X'' = '''R'''}} muni de la tribu des [[borélien]]s et de la mesure de Lebesgue :
* la [[Fonction inverse|fonction ''x ''↦ 1/''x'']] restreinte à {{math|[1, +∞[}} est dans [[Espace L2|{{math|L{{2}}}}]], mais pas dans [[Espace L1|{{math|L{{1}}}}]] ;
* la [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonction indicatrice]] de {{math|'''Q'''}}, définie sur {{math|'''R'''}}, qui vaut 1 en chaque [[nombre rationnel]] et 0 partout ailleurs, est dans {{math|L{{exp|∞}}}} et coïncide, dans cet espace, avec la [[fonction constante]] de valeur nulle, du fait que l'ensemble des rationnels est négligeable.

== Propriétés ==
=== Norme et complétude ===
L'expression entre doubles barres donnée ci-dessus est bien positive et ne s'annule que pour la classe de la [[fonction nulle]] dans {{math|L{{exp|''p''}}(''X'', ''A'', ''μ'')}}. En outre, elle est [[Fonction homogène|positivement homogène]], c'est-à-dire que pour tout scalaire {{math|λ}},
{{Centrer|<math>\|\lambda f\|_p = |\lambda|~\|f\|_p</math>.}}
Cependant, elle ne satisfait l'[[inégalité triangulaire]] que pour {{math|''p''}} supérieur ou égal à 1. Les espaces {{math|L{{exp|''p''}}}} pour {{math|1 ≤ ''p ''≤ ∞}} sont des [[espaces de Banach]], c'est-à-dire complets pour la norme ainsi définie : c'est le [[théorème de Riesz-Fischer]], qui démontre au passage que toute [[suite de Cauchy]] dans {{math|L{{exp|''p''}}}} possède une [[sous-suite]] qui converge presque partout.

Pour {{math|0 < ''p'' < 1}}, ║&nbsp;║ est seulement une [[quasi-norme]] et {{math|L{{exp|''p''}}}} est seulement un [[F-espace]], c'est-à-dire un [[espace vectoriel topologique]] [[Espace métrisable|métrisable]] complet, pour une [[distance (mathématiques)|distance]] [[invariant]]e par translations : d{{ind|''p''}}(''f'', ''g'') = ║''f – g''║''{{ind|p}}{{exp|p}}'', mais il n'est pas [[Espace localement convexe|localement convexe]] donc pas [[Norme (mathématiques)|normable]].

=== Inclusions ===
* Si la [[Mesure finie|mesure est finie]] alors, d'après l'[[inégalité de Hölder]] ou [[Inégalité de Jensen|celle de Jensen]], la famille des espaces {{math|L{{exp|''p''}}}} est ''décroissante'', avec des [[Espace vectoriel normé#Opérateur borné|injections continues]] :{{Centrer|<math>\text{si }\mu(X)<+\infty\text{ alors }0<p\le q\le+\infty\Rightarrow\mathrm L^p\supset\mathrm L^q\text{ et }\sup_{f\in\mathrm L^q, \|f\|_q\le 1}\|f\|_p=\|\mu(X)^{\frac{-1}q}\|_p=\mu(X)^{\frac1p-\frac1q}.</math>}}Il existe [[Mesure finie#Suite décroissante des espaces Lp|une réciproque forte]] pour les [[Mesure sigma-finie|mesures σ-finies]].
* Si les mesures des parties non négligeables sont minorées par un même réel strictement positif alors, la famille des {{math|L{{exp|''p''}}}} est ''croissante'', avec des injections continues :{{Centrer|<math>\text{si }\inf_{\mu(A)>0}\mu(A)=\varepsilon>0\text{ alors }0<p\le q\le+\infty\Rightarrow\mathrm L^p\subset\mathrm L^q\text{ et }\sup_{f\in\mathrm L^p, \|f\|_p\le 1}\|f\|_q=\varepsilon^{\frac1q-\frac1p}.</math>}}On a le même type de réciproque que ci-dessus : s'il existe {{math|''p''}} et {{math|''q''}}, avec {{math|1 ≤ ''p < q'' ≤ +∞}}, tels que {{math|L{{exp|''p''}} ⊂ L{{exp|''q''}}}}, alors les mesures des parties non négligeables sont minorées par un même {{math|ε > 0}}<ref>Voir par exemple {{en}} [http://math.stackexchange.com/questions/66029/lp-and-lq-space-inclusion <cite lang=en>{{math|L{{exp|p}}}} and {{math|L{{exp|q}}}} space inclusion</cite>], sur math.stackexchange.com, ou {{Note autre projet|Wikiversité|Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé#Exercice 6-7|cet exercice corrigé du chapitre « Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé »|début=}}</ref>.
* Dans le cas où l'espace {{math|''X''}} est un [[ensemble fini]] muni de la mesure de comptage, les deux conditions ci-dessus sont satisfaites et tous les espaces {{math|L{{exp|''p''}}}} sont identifiés à un même [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|espace vectoriel normé de dimension finie]].
* À l'inverse, pour la mesure de Lebesgue, qui ne vérifie aucune des deux conditions ci-dessus, il existe des fonctions<ref>{{en}} [http://math.stackexchange.com/questions/55170/is-it-possible-for-a-function-to-be-in-lp-for-only-one-p <cite lang=en>Is it possible for a function to be in {{math|L{{exp|p}}}} for only one {{math|p}}?</cite>], sur math.stackexchange.com</ref> n'appartenant qu'à un seul {{math|L{{exp|''p''}}}}.
* Dans tous les cas, {{Centrer|<math>1\le p\le r\le q\le+\infty\Rightarrow\mathrm L^p\cap\mathrm L^q\subset\mathrm L^r</math>}}et pour tout {{math|''f'' ∈ L{{exp|''p''}}∩L{{exp|''q''}}}}, sur l'intervalle {{math|[''p'', ''q'']}}, le [[logarithme]] de la fonction {{math|''r'' ↦ ''║f║{{ind|r}}''}} est une [[fonction convexe]] de {{math|1/''r''}}<ref name=Viaclovsky>{{Lien web|langue=en|url=http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-125-measure-and-integration-fall-2003/lecture-notes/18125_lec17.pdf|auteur=Jeff Viaclovsky|titre=Measure and Integration, Lecture 17|année=2003|site=[[MIT]]}}.</ref>.
*L'[[Inégalité de Bienaymé-Tchebychev#Formulation généralisée|inégalité de Tchebychev]] permet de prouver que pour tout {{math|''r'' < ∞}} et tout  {{math|''f'' ∈ L{{exp|''r''}}}}, on a<ref name=Viaclovsky/> :{{Centrer|<math>\|f\|_\infty=\lim_{p\to+\infty}\|f\|_p.</math>}}

=== Dualité ===
{{Article détaillé|contenu=Article détaillé : {{Lien|lang=de|trad=Dualität von Lp-Räumen|Dualité des espaces Lp|texte=Dualité des espaces {{math|L{{exp|''p''}}}}}}.}}
Pour {{math|1 < ''p'' < +∞}} et pour toute mesure, {{math|L{{exp|''p''}}}} est [[Espace réflexif|réflexif]] et son [[dual topologique]] s'identifie à l'espace {{math|L{{exp|''q''}}}}, où ''{{math|q}} ''est défini de façon que {{math|1={{fraction|1|''p''}} + {{fraction|1|''q''}} = 1}}.

Si la mesure est σ-finie, le dual de {{math|L{{1}}}} est {{math|L{{exp|∞}}}} et [[Mesure finie#Espace des mesures finies|le dual de {{math|L{{exp|∞}}}} contient ''strictement '' {{math|L{{1}}}}]] (sauf cas triviaux).

[[Dual topologique#Topologie forte sur le dual d'un espace normé|{{math|L{{1}}([0, 1])}} n'est le dual d'aucun espace, tandis que {{math|ℓ{{1}}}} est le dual de nombreux espaces]], dont celui des suites de limite nulle.

{{Démonstration/début|titre=Démonstration de {{math|(L{{exp|''p''}})' ≃ L{{exp|''q''}}}}, pour {{math|1 ≤ ''p'' < +∞}} et {{math|1={{fraction|1|''p''}} + {{fraction|1|''q''}} = 1}}
(en supposant, si {{math|1=''p'' = 1}}, que la mesure est σ-finie<ref>Dans beaucoup de cours ou manuels, comme celui de {{Rudin}}, on suppose cette σ-finitude pour toutes les valeurs de {{math|''p''}}, pour simplifier la démonstration.</ref>)}}
L'[[inégalité de Hölder]] et son [[Inégalité de Hölder#Cas extrémal|cas extrémal]] fournissent immédiatement un plongement [[Isométrie|isométrique]] ''J ''de {{math|L{{exp|''q''}}}} dans {{math|(L{{exp|''p''}})'}}. Il reste à montrer que toute forme linéaire φ sur {{math|L{{exp|''p''}}}} de norme 1 est de la forme ''J''(''g'') pour un certain ''g ''de {{math|L{{exp|''q''}}}}.

* Si {{math|1 < ''p'' < +∞}}, on sait que {{math|L{{exp|''p''}}}} est un [[espace uniformément convexe]] donc il existe dans {{math|L{{exp|''p''}}}} un [[vecteur unitaire]] ''f ''tel que φ(''f'') = 1<ref>D'après le [[théorème de James]], ceci prouve déjà que {{math|L{{exp|''p''}}}} est réflexif, mais ce résultat sera de toute façon conséquence du calcul de la famille des {{math|(L{{exp|''p''}})'}}.</ref>. Pour ce ''f'', soit ''g ''l'élément de {{math|L{{exp|''q''}}}} calculé dans le cas extrémal de l'inégalité de Hölder ; par construction, son image ψ par ''J ''vérifie : ψ(''f'') = 1 = ║ψ║. Or, toujours par convexité uniforme, {{math|L{{exp|''p''}}}} est [[Espace strictement convexe|strictement convexe donc lisse]] donc il existe une unique forme linéaire sur {{math|L{{exp|''p''}}}} vérifiant ces conditions. On conclut que la forme linéaire φ de départ s'écrit : φ = ψ = ''J''(''g'').
* Si {{math|''p''}} = 1 :
** Traitons d'abord le cas où la mesure μ sur l'espace mesuré (''X'', ''A'') est finie. En posant dans ce cas, pour tout ''E ''∈ ''A '': ν(''E'') = φ('''1'''{{ind|''E''}}), on obtient une [[mesure signée]] ν vérifiant, pour tout ''E ''∈ ''A '': |ν(''E'')| ≤ μ(''E''). Le « petit » [[théorème de Radon-Nikodym]] (pour μ finie) fournit alors une fonction ''g ''∈ {{math|L{{1}}}}(μ) telle que ν = ''g''μ donc telle que (par [[Convergence uniforme|limite uniforme]] de [[Fonction étagée|fonctions étagées]]) :{{Centrer|<math>\forall f\in\mathrm L^\infty(\mu),~\varphi(f)=\int fg\mathrm d\mu.</math>}}De plus, d'après une [[Intégrale de Lebesgue#Théorèmes|propriété générale de l'intégrale de Lebesgue]], |''g''| ≤ 1 μ-[[presque partout]] car{{Centrer|<math>\forall E\in A,~\left|\int_E g\mathrm d\mu\right|=|\nu(E)|\le\mu(E).</math>}}La fonction ''g ''∈ {{math|L{{1}}}}(μ) appartient donc même à {{math|L{{exp|∞}}}}(μ) et la formule précédente s'étend par [[Partie dense|densité]] :{{Centrer|<math>\forall f\in\mathrm L^1(\mu),~\varphi(f)=\int fg\mathrm d\mu.</math>}}Dans le cas où μ est finie, on a donc bien mis φ sous la forme ''J''(''g'').
** Dans le cas général où μ est seulement σ-finie, on partitionne ''X'' en une suite de ''X{{ind|n}} ''de mesures finies et l'on construit de même sur chaque ''X{{ind|n}} ''une fonction ''g{{ind|n}}'', nulle hors de ''X{{ind|n}}''. Leur somme ''g ''vérifie ainsi : ''g ''∈ {{math|L{{exp|∞}}}}(μ) et φ = ''J''(''g'').
{{Démonstration/fin}}

=== Densité et séparabilité ===
Pour tout {{math|''p'' ∈ [1, +∞]}}, les [[Fonction étagée|fonctions étagées]] appartenant à {{math|L{{exp|''p''}}}} forment un [[Sous-espace vectoriel|sous-espace]] [[Partie dense|dense]] de {{math|L{{exp|''p''}}}}.

Pour {{math|''p'' < +∞}}, on en déduit que :
*si la mesure est σ-finie et si la tribu est [[Tribu engendrée|engendrée]] par un [[ensemble dénombrable]] de parties — en particulier si c'est la [[tribu borélienne]] d'un [[espace à base dénombrable]] — alors {{math|L{{exp|''p''}}}} est [[Espace séparable|séparable]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|titre=Measure Theory|auteur=[[Donald L. Cohn]]|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|année=2013|lire en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4614-6956-8}}, {{Lang|en|Proposition}} 3.4.5.</ref> ;
*si ''X'' est un [[espace séparé]] [[localement compact]], muni de sa tribu borélienne et d'une [[mesure quasi-régulière]], les [[Support de fonction#Fonction à support compact|fonctions continues à support compact]] forment un sous-espace dense de {{math|L{{exp|''p''}}}}<ref>{{Harvsp|Rudin}}, théorème 3.14.</ref> ;
*si ''X'' est un [[Ouvert (topologie)|ouvert]] de ℝ{{exp|''n''}} (muni de la tribu et de la mesure de Lebesgue), le sous-espace des [[Fonction C∞ à support compact|fonctions infiniment dérivables et à support compact]] est encore dense dans {{math|L{{exp|''p''}}}}<ref>{{Harvsp|Brezis|2010|p=[https://books.google.fr/books?id=GAA2XqOIIGoC&pg=PA109 109]}}, {{Lang|en|Corollary}} 4.23.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Fonction localement intégrable|Espace {{math|L{{exp|1}}{{ind|loc}}}}]]
* [[Espace L2]]
* [[Espace de Sobolev]]
* {{Lien|trad=Bochner space|Espace de Bochner}}
* [[Espace de Birnbaum-Orlicz]]
*[[Mesure de Radon]]
*[[Produit de convolution]]
*[[Théorème de représentation de Riesz (Riesz-Markov)]]
* [[Théorème de Riesz-Thorin]]
* [[Transformée de Fourier]]

=== Bibliographie ===
* {{Brezis}}
* {{Faraut}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Espace fonctionnel remarquable|Lp]]
[[Catégorie:Espace de Banach|Lp]]
[[Catégorie:Théorie de l'intégration]]