Voir la source de Espace de Hardy

Les '''espaces de Hardy''', dans le domaine [[mathématique]] de l'[[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], sont des [[Espace fonctionnel|espaces]] de [[Fonction analytique|fonctions analytiques]] sur le [[Boule (topologie)#Définition générale|disque unité]] 𝔻 du [[plan complexe]].

== Le cas hilbertien : l'espace {{Math|''H''{{2}}}}(𝔻) == 
=== Définition ===
Soit {{math|''f''}} une [[fonction holomorphe]] sur 𝔻, on sait que {{math|''f''}} admet un développement en [[série de Taylor]] en 0 sur le disque unité :

{{Centrer|<math>\forall z\in\mathbb D\qquad f(z) = \sum_{n=0}^{+ \infty} \, \hat f(n)\ z^n\qquad\text{avec}\qquad\hat f(n):=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.</math>}}

On dit alors que {{math|''f''}} est dans l'espace de Hardy {{Math|''H''{{2}}}}(𝔻) si la suite <math>(\hat f(n))</math> appartient à [[Espace de suites ℓp|ℓ{{2}}]]. Autrement dit, on a :

{{Centrer|<math> H^2(\mathbb{D})=\left\lbrace f \in Hol(\mathbb{D})~\left|~\sum_{n=0}^{+ \infty} \, |\hat f(n)|^2< +\infty\right.\right\rbrace </math>}}

On définit alors la [[Norme (mathématiques)|norme]] de {{math|''f''}} par :

{{Centrer|<math>\|f\|_2:=\left(\sum_{n=0}^{+ \infty}|\hat f(n)|^2\right)^\frac12.</math>}}

=== Exemple ===
La fonction <math>z\mapsto\log(1-z)= - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}n</math> appartient à {{Math|''H''{{2}}}}(𝔻), par convergence de la série <math>\sum_{n\geq1} \frac1{n^2}</math> ([[Série de Riemann#Convergence|série de Riemann convergente]]).

=== Une autre expression de la norme ===

Pour {{math|''f''}} holomorphe sur 𝔻 et pour {{math|0 ≤ ''r'' <1}}, on définit :

{{Centrer|<math>M_2(f,r):=\left(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\vert f(r\mathrm e^{\mathrm it})\vert^2~\mathrm dt\right)^\frac12.</math>}}

* la fonction {{math|''r'' ↦ ''M''{{ind|2}}(''f'', ''r'')}} est croissante sur {{math|[0, 1[}}.
* {{Math|''f'' ∈ ''H''{{2}}}}(𝔻) si et seulement si <math>\lim_{r\to1^-}M_2(f,r)<+\infty</math> et l'on a :

{{Centrer|<math> \|f\|_2^2=\lim_{r\to1^-}{\frac1{2 \pi} \int_{- \pi}^\pi\vert f(r\mathrm e^{\mathrm it}) \vert^2~\mathrm dt} = \sup_{ 0 \leq r <1}\frac1{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} \vert f(r\mathrm e^{\mathrm it}) \vert^2~\mathrm dt.</math>}}

{{Démonstration|contenu=
* Posons <math>z=r\mathrm e^{\mathrm it}</math> où <math>r\in[0,1[</math> et <math>t\in[-\pi,\pi]</math>. On a :{{Centrer|<math>f(z)=\sum_{n=0}^{+ \infty} \hat f(n) z^n \hbox{ donc } f(r\mathrm e^{\mathrm it})=\sum_{n=0}^{+ \infty} \hat f(n) r^n\mathrm e^{\mathrm int} </math>}}Alors, par la [[formule de Parseval]], on a :{{Centrer|<math>M_2(f,r)^2=\sum_{n=0}^{+ \infty} \vert \hat f(n) \vert^2r^{2n} </math>}}Cette formule prouve la première assertion.
* Si {{Math|''f'' ∈ ''H''{{2}}}}(𝔻), la formule précédente montre que <math>M_2(f,.)</math> est une fonction croissante, bornée donc  <math>\displaystyle{\lim_{r \rightarrow 1-} M_2(f,r)}</math> existe et d'après le [[théorème de convergence monotone]] cette limite est égale à <math>\|f\|_2</math>. Réciproquement si <math>\displaystyle{\lim_{r \rightarrow 1-} M_2(f,r) = M < +\infty}</math>, pour chaque <math>N \geq 0</math>, on a, par croissance de <math>M_2(f,r)</math> :{{Centrer|<math> \sum_{n=0}^N\vert \hat f(n) \vert^2 r^{2n} \leq \sum_{n=0}^{+ \infty} \vert \hat f(n) \vert^2 r^{2n} \leq M^2 </math>}}En passant à la limite quand <math>r</math> tend vers <math>1^{-}</math> puis quand <math>N</math> tend vers <math>+ \infty</math>, on obtient la deuxième assertion.
}}

=== Quelques propriétés de l'espace {{Math|''H''{{2}}}}(𝔻) ===
* L'espace de Hardy {{Math|''H''{{2}}}}(𝔻) est [[Transformation unitaire|isométriquement isomorphe]] (en tant qu'[[espace vectoriel normé]]) à ℓ{{2}}. C'est donc un [[espace de Hilbert]].

{{Démonstration|contenu= 
On considère l'application <math>T : H^2(\mathbb{D}) \rightarrow \ell_2</math> définie par <math>T(f)= (\hat f(n))</math>. Celle-ci est bien définie par
définition de {{Math|''H''{{2}}}}(𝔻), elle est clairement linéaire. Par unicité du développement en série entière elle est [[Injection (mathématiques)|injective]], il reste à montrer
qu'elle est [[Surjection|surjective]].

Soit <math>(a_n) \in \ell_2</math>, <math>(a_n)</math> est bornée donc la série entière f définie par <math>f(z) = \sum_{n=0}^{+ \infty} a_n z^n</math> a un rayon de convergence supérieur
ou égal à 1, en particulier <math>f \in Hol(\mathbb{D})</math> et <math>T(f)= (a_n)</math>. <math>T</math> est donc bien surjective.
}}

* Pour tout {{Math|''f'' ∈ ''H''{{2}}}}(𝔻) et pour tout {{math|''z''}} dans 𝔻, on a :

{{Centrer|<math> \vert f(z) \vert \leq  \frac{\|f \|_2}{\sqrt{1-\vert z \vert^2}}.</math>}}

{{Démonstration|contenu=
On applique l'[[inégalité de Cauchy-Schwarz]] au développement en série de Taylor de {{math|''f''}} en 0. On a alors, pour tout {{math|''z''}} dans 𝔻 :

{{Centrer|<math> \vert f(z) \vert \leq \sum_{n=0}^{ + \infty} \vert \hat f(n) \vert \vert z \vert^n \leq \|f\|_2 \,  {(\sum_{n=0}^{+ \infty} \vert z \vert^{2n} )}^{ \frac12}= \frac{\|f \|_2}{\sqrt{1-\vert z \vert^2}}</math>.}}
}}

Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation {{math|''f'' ↦ ''f''(''z'')}}, de {{Math|''H''{{2}}}}(𝔻) dans ℂ, est continue pour tout {{math|''z''}} dans 𝔻 et sa norme est plus petite que :

{{Centrer|<math>\frac1{\sqrt{1- \vert z \vert^2}}.</math>}}
 
En fait, on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.

* La [[topologie faible]] de la [[Boule (topologie)|boule unité]] de {{Math|''H''{{2}}}}(𝔻) coïncide avec la [[Topologie compacte-ouverte|topologie de la convergence uniforme sur tout compact]].

Les deux prochaines propriétés sont alors des conséquences directes de cette dernière.

* Soit {{math|(''f{{ind|n}}'')}} une suite d'éléments de {{Math|''H''{{2}}}}(𝔻) qui converge en norme vers {{math|''f''}} alors {{math|(''f{{ind|n}}'')}} [[Convergence uniforme|converge uniformément]] sur tout compact de 𝔻 vers {{math|''f''}}.
* Soit {{math|(''f{{ind|n}}'')}} une suite d'éléments de {{Math|''H''{{2}}}}(𝔻) incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une [[sous-suite]] qui converge uniformément sur tout compact de 𝔻.

== Le cas général ==
=== Définition ===
Pour {{math|0 < ''p'' < + ∞}}, on définit l'espace de Hardy {{Math|''H{{exp|p}}''}}(𝔻) comme étant l'espace des fonctions analytiques {{math|''f''}} sur le disque unité telles que :
{{Centrer|<math>\sup_{ 0<r<1}\left(\int_0^{2\pi}|f(r\mathrm e^{\mathrm it})|^p~\frac{\mathrm d t}{2 \pi}\right) < + \infty.</math>}}
On définit alors :
{{Centrer|<math>\|f\|_p=\sup_{ 0<r<1}\left(\int_0^{2\pi}|f(r\mathrm e^{\mathrm it})|^p~\frac{\mathrm d t}{2 \pi}\right)^\frac1p.</math>}}

=== Quelques propriétés ===
* Pour {{math|''p'' ≥ 1}}, {{Math|''H{{exp|p}}''}}(𝔻) est un [[espace de Banach]].
* Soit {{Math|''f'' ∈ ''H{{exp|p}}''}}(𝔻) pour {{math|''p'' ≥ 1}}. Alors pour [[Ensemble négligeable|presque tout]] {{math|''t''}} (au sens de la [[mesure de Lebesgue]]) :{{Centrer|<math>f^*(\mathrm e^{\mathrm it}):= \lim_{r\to1^-} f(r\mathrm e^{\mathrm it}) </math>}}existe et l'application {{math|''f'' ↦ ''f''*}} est une isométrie de {{Math|''H{{exp|p}}''}}(𝔻) sur le sous-espace <math>H^p_*</math> de <math>L^p\left([0, 2 \pi], \frac{\mathrm d t}{2 \pi}\right)</math> où :{{Centrer|<math>H^p_*=\left\{\left.f \in L^p\left([0, 2 \pi],\frac{\mathrm d t}{2 \pi}\right)~\right|~\forall n\le-1,~\hat f(n)=0\right\}.</math>}}
* On a une autre caractérisation de la norme grâce aux propriétés des [[Fonction sous-harmonique|fonctions sous-harmoniques]] : Pour toute {{Math|''f'' ∈ ''H{{exp|p}}''}}(𝔻), on a :

{{Centrer|<math>\|f\|_p=\lim_{r\to1^-}\left(\int_0^{2\pi}|f(r\mathrm e^{\mathrm it})|^p\frac{\mathrm d t}{2\pi}\right)^\frac1p.</math>}}

== Factorisation de Beurling ==
{{Article détaillé|contenu=Voir la [[:en:Hardy space#Factorization into inner and outer functions (Beurling)|section correspondante de l'article anglophone]].}}
{{...}}
<!--
== Notes et références ==
{{références}}
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== Bibliographie ==
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=[[Peter Duren|Peter L. Duren]]|titre=Theory of H{{exp|p}} Spaces|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=2000|pages totales=292|isbn=978-0-486-41184-2|lire en ligne={{Google Livres|fs4rPPcJ7HUC}}}}
* Nikolaï Nikolski, ''Éléments d'analyse avancée T.1 - Espaces de Hardy'', [[Éditions Belin|Belin]], {{date-|novembre 2012}},  {{ISBN|978-2701163482}}

== Article connexe ==
[[Noyau de Poisson]]

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse à plusieurs variables]]
[[Catégorie:Espace de Banach| ]]