Voir la source de Exponentielle d'une matrice

En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[Analyse (mathématiques)|analyse]], l''''exponentielle d'une matrice''' est une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] généralisant la [[fonction exponentielle]] aux [[Matrice (mathématiques)|matrices]] et aux [[endomorphisme]]s par le [[calcul fonctionnel]]. Elle fait en particulier le pont entre un [[groupe de Lie]] et son [[algèbre de Lie]].

== Définition ==
{{théorème|Théorème et définition|La [[série (mathématiques)|série de matrices]] de terme général
:<math>\begin{array}{ccc}\mathrm M_n(\Complex)& \longrightarrow &\mathrm M_n(\Complex) \\ A & \longmapsto & \frac1{k!}A^k\end{array}</math>
[[convergence normale|converge normalement]] sur toute [[partie bornée]] de <math>\mathrm M_n(\Complex)</math><ref name=CfV>Voir par exemple le [[#Voir aussi|chapitre « Exponentielle d'une matrice »]] sur [[Wikiversité]].</ref>.

On appelle alors ''exponentielle'' l'application
:<math>\exp:\mathrm M_n(\Complex)\to\mathrm M_n(\Complex),\quad A\mapsto \mathrm e^A=\sum_{k\in\N}\frac1{k!}A^k</math>.
|style=display:table}}

Pour ''n'' = 1, on retrouve la définition de l'[[exponentielle complexe]].

== Propriétés ==
{{Section à sourcer|date=février 2020}}
Sauf indication contraire, {{mvar|X}}, {{mvar|Y}}{{etc.}} désignent des matrices {{math|''n'' × ''n''}} complexes (à coefficients complexes).

=== Propriétés générales ===
* L'exponentielle de la [[matrice nulle]] est la [[matrice identité]] : <math>\mathrm e^0=I</math> ;
* Le [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] de l'exponentielle d'une matrice est égal à l'exponentielle de sa [[trace (algèbre)|trace]] : <math>\det\left(\mathrm e^X\right)=\mathrm e^{\operatorname{tr}(X)}</math>;
* si {{mvar|Y}} est une [[matrice inversible]], alors <math>\mathrm e^{YXY^{-1}}=Y\,\mathrm e^XY^{-1}</math> ;
* l'exponentielle de matrice vérifie la limite : <math>\mathrm e^X=\lim_{k\to\infty}\left(I+\frac{X}{k}\right)^{\!k}</math>;
*<math>\mathrm e^{(X+Y)}=\lim_{n\to\infty}\left(\mathrm e^\frac Xn\mathrm e^\frac Yn\right)^{\!n}</math> ([[formule de Trotter-Kato]]) ;
*il existe un [[polynôme d'endomorphisme]] {{mvar|P{{ind|X}}}} (dépendant de ''X'') tel que <math>\mathrm e^X=P_X(X)</math>.
* L'exponentielle induit une surjection continue de <math>\mathrm{A_n}(\R)</math> (ensemble des [[Matrice antisymétrique|matrices antisymétriques]]) dans <math>\mathrm{SO_n}(\R)</math> ([[groupe spécial orthogonal]] des [[matrice orthogonale|matrices orthogonales]]) de déterminant <math>1</math><ref>{{Lien web |auteur=Maxime Bouchereau |titre=Exponentielle de matrices antisymétriques |url=https://perso.eleves.ens-rennes.fr/~mbouc892/expmatanti.pdf |format=pdf}}</ref>.
* Elle induit de plus un [[homéomorphisme]] de <math>\mathrm{S_n}(\R)</math> (ensemble des matrices symétriques) dans <math>\mathrm{{S_n}^{++}}(\R)</math> (ensemble des [[Matrice définie positive#|matrices symétriques définies positives]]).


=== Transposition et conjugaison ===
La [[matrice transposée|transposée]], la [[matrice conjuguée|conjuguée]] et l'[[matrice adjointe|adjointe]] d'une matrice {{mvar|X}} sont notées <math>X^\mathsf T</math>, <math>\overline X</math> et <math>X^\dagger</math>.
* L'exponentielle de la transposée d'une matrice est la transposée de l'exponentielle de la matrice : <math>\mathrm e^{X^\mathsf T}=\left(\mathrm e^X\right)^{\!\mathsf T}</math>. Il s'ensuit que :
** si {{mvar|X}} est [[matrice symétrique|symétrique]] (<math>X^\mathsf T=X</math>), alors {{math|e{{exp|''X''}}}} l'est aussi : <math>\left(\mathrm e^X\right)^{\!\mathsf T}=\mathrm e^X</math> ;
** si {{mvar|X}} est [[matrice antisymétrique|antisymétrique]] (<math>X^\mathsf T=-X</math>) et réelle (à coefficients réels), alors {{math|e{{exp|''X''}}}} est [[matrice orthogonale|orthogonale]] : <math>\left(\mathrm e^X\right)^{-1}=\left(\mathrm e^X\right)^{\mathsf T}</math>.
* L'exponentielle de la conjuguée d'une matrice est la conjuguée de l'exponentielle de la matrice : <math>\mathrm e^\overline X=\overline{\mathrm e^X}</math> et donc, compte tenu de la propriété précédente :
* L'exponentielle de l'adjointe d'une matrice est l'adjointe de l'exponentielle de la matrice : <math>\mathrm e^{X^\dagger}=\left(\mathrm e^X\right)^{\!\dagger}</math>. Il s'ensuit que :
** si {{mvar|X}} est [[Hermitien#Matrice hermitienne|hermitienne]] (<math>X^\dagger=X</math>), alors {{math|e{{exp|''X''}}}} l'est aussi : <math>\left(\mathrm e^X\right)^{\!\dagger}=\mathrm e^X</math> ;
** si {{mvar|X}} est antihermitienne (<math>X^\dagger=-X</math>), alors {{math|e{{exp|''X''}}}} est [[matrice unitaire|unitaire]] : <math>\left(\mathrm e^X\right)^{-1}=\left(\mathrm e^X\right)^\dagger</math>.

=== Commutativité ===
Le [[Commutateur (opérateur)#En théorie des anneaux|commutateur]] de {{mvar|X}} et {{mvar|Y}} est noté {{math|[''X'' , ''Y''] ({{=}} ''XY – YX'')}}.
* Si {{math|[''X'' , ''Y''] {{=}} 0}} (les matrices commutent) alors <math>\mathrm e^X\mathrm e^Y=\mathrm e^{X+Y}\;(=\mathrm e^Y\mathrm e^X)</math>.
* Plus généralement, en supposant seulement que {{math|[''X'' , ''Y'']}} [[Loi commutative|commute]] avec {{mvar|X}} et {{mvar|Y}}, <math>\mathrm e^X\mathrm e^Y=\mathrm e^{X+Y+\frac12[X,Y]}</math> (formule de [[Roy J. Glauber|Glauber]]).
{{Démonstration|titre=Démonstration<ref>{{Cohen}}, vol. 1, {{p.|174-175}} ({{Google Livres|e_Ec0IlSbMMC|page=175|en anglais}} et {{Google Livres|E5j5whaJ3qgC|page=159|{{p.|158-159}} en allemand}}).</ref>{{,}}<ref>{{Messiah}}, vol. 1, [https://archive.org/stream/QuantumMechanicsVolumeI/Messiah-QuantumMechanicsVolumeI#page/n231/mode/1up {{p.|442}} de la traduction en anglais].</ref>
|contenu =
Soit <math>\Phi(t)=\mathrm e^{Xt}\mathrm e^{Yt}</math>. Alors, <math>\Phi(0)=I</math> et <math>\Phi'(t)=X\mathrm e^{Xt}\mathrm e^{Yt}+\mathrm e^{Xt}Y\mathrm e^{Yt}=(X+\mathrm e^{Xt}Y\mathrm e^{-Xt})\Phi(t)=\left(X+Y+\left[\mathrm e^{Xt},Y\right]\mathrm e^{-Xt}\right)\Phi(t)</math>.
*Remarquons d'abord la relation<center><math>[A,F(B)]=[A,B]\,F'(B)</math>,</center>pour toutes matrices {{mvar|A}} et {{mvar|B}} telles que {{mvar|B}} commute avec {{math|[''A'' , ''B'']}}  et pour toute fonction {{mvar|F}} développable en série entière<ref>{{Harvsp|Cohen-Tannoudji|Diu|Laloë|texte=Cohen-Tannoudji, Diu et Laloë|p=171-172}}.</ref>.<br />En effet, pour tout <math>n\in\N</math>, [[Commutateur (opérateur)#En théorie des anneaux|la formule générale <math>[A,B^n]=\sum_{0\le k<n}B^k\left[A,B\right]B^{n-1-k}</math>]] devient ici : <math>[A,B^n]=n[A,B]B^{n-1}</math>.
*Appliquons cette relation au commutateur <math>\left[Y,\mathrm e^{Xt}\right]</math> :
*:<math>\left[Y,\mathrm e^{Xt}\right]=t[Y,X]\mathrm e^{Xt}</math>, ou encore <math>\left[\mathrm e^{Xt},Y\right]=t[X,Y]\mathrm e^{Xt}</math>, donc <math>\Phi'(t)=\left(X+Y+t[X,Y]\right)\Phi(t)</math>.
*:On intègre en utilisant que {{math|[''X'' , ''Y'']}} commute avec {{math|''X'' + ''Y''}} : <math>\Phi(t)=\Phi(0)\mathrm e^{t(X+Y)+\frac{t^2}2[X,Y]}=\mathrm e^{t(X+Y)+\frac{t^2}2[X,Y]}</math>
*:En prenant ''t'' = 1 : <math>\mathrm e^X\mathrm e^Y=\mathrm e^{X+Y+\frac12[X,Y]}</math>.
}}
* Encore plus généralement, la [[formule de Baker-Campbell-Hausdorff]] donne l'expression de <math>{\rm e}^{X+Y}-\mathrm e^X\mathrm e^Y</math>, plus précisément d'un [[Logarithme d'une matrice|logarithme]] de {{math|e{{exp|''X''}} e{{exp|''Y''}}}}, par une série ne faisant intervenir que {{mvar|X}}, {{mvar|Y}} et leurs commutateurs. Les premiers termes sont<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Roger Godement]]|titre=Introduction à la théorie des groupes de Lie|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|lieu=Berlin|année=1982|pages totales=305|page=263|isbn=3-540-20034-7|lire en ligne={{Google Livres|-BAnnb7vr9YC|page=263}}}}.</ref>{{,}}<ref>Pour plus de termes, voir par exemple {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Janusz|nom1=Czyż|titre=Paradoxes of Measures and Dimensions Originating in Felix Hausdorff's Ideas|éditeur=World Scientific|année=1994|pages totales=738|page=421|isbn=978-981-02-0189-0|lire en ligne={{Google Livres|sKGz7SiCVpEC|page=421}}}}.</ref> :
*:<math>\log(\mathrm e^X\mathrm e^Y)=X+Y+\frac12[X,Y]+
\frac1{12}[X,[X,Y]]+\frac1{12}[Y,[Y,X]]-\frac1{24}[X,[Y,[X,Y]]]+\dots</math>

La réciproque est cependant fausse : pour
:<math>X = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2\mathrm{i}\pi\end{pmatrix}, Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2\mathrm{i}\pi\end{pmatrix},</math>
on a
:<math>\mathrm e^X = \mathrm e^Y = \mathrm e^{X+Y} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
mais ces deux matrices ne commutent pas.

== Application exponentielle ==
{{Article connexe|Application exponentielle}}
=== Application exponentielle de matrice {{math|''X'' ↦ e{{exp|''X''}}}} ===
L'exponentielle d'une matrice est toujours [[matrice inversible|inversible]]. L'inverse de {{math|e{{exp|''X''}}}} est donné par {{math|e{{exp|-''X''}}}}. Cette fonction est donc une application <math>\exp:\mathrm M_n(\Complex) \to\mathrm{GL}_n(\Complex)</math> de l'ensemble des matrices {{math|''n'' × ''n''}} vers le [[groupe général linéaire]], c'est-à-dire le groupe de toutes les matrices inversibles. Cette application est [[Surjection|surjective]].

Pour deux matrices {{mvar|X}} et {{mvar|Y}}, nous avons :
:<math>\|\mathrm e^{X+Y}\!-\mathrm e^X\| \le \|Y\|\,\mathrm e^{\|X\|}\,\mathrm e^{\|Y\|}, </math>
où ||&nbsp;·&nbsp;|| désigne une [[norme (mathématiques)#Norme d'algèbre|norme matricielle]] arbitraire. Il suit que l'application exponentielle  est continue et  [[application lipschitzienne|lipschitzienne]] sur tout sous-ensemble compact de <math>\mathrm M_n(\Complex)</math>.

L'application <math>\exp:\mathrm M_n(\Complex) \to\mathrm{GL}_n(\Complex)</math> est même de classe <math>C^\infty</math>.

Sa [[différentielle]] en {{math|0}} est l'identité et elle réalise un [[difféomorphisme]] entre un voisinage de {{math|0}} et un voisinage de l'identité.

=== Application {{math|''t'' ↦ e{{exp|''tX''}}}} ===
L'application :
:<math>t \mapsto{\rm e}^{tX}, \quad t \in \R</math>
définit une courbe de classe <math>C^\infty</math> dans le groupe linéaire qui passe par l'identité en ''t'' = 0. Cette courbe est en fait un [[Sous-groupe à un paramètre#Groupe de Lie commutatif|sous-groupe de Lie commutatif]] [[Sous-groupe à un paramètre|à un paramètre]] de <math>\mathrm{GL}_n(\Complex)</math> puisque :
:<math>\mathrm e^{t_1X}\mathrm e^{t_2X}=\mathrm e^{(t_1+t_2)X}=\mathrm e^{t_2X}\mathrm e^{t_1X}</math>.

La dérivée de cette courbe au point ''t'' est donnée par :
:<math>\frac\mathrm d{\mathrm dt}\mathrm e^{tX}=X\,\mathrm e^{tX}=\mathrm e^{tX}X\qquad (1)</math>
(la dérivée au point ''t'' = 0 est la matrice {{mvar|X}}, ce qui revient à dire que {{mvar|X}} engendre ce sous-groupe à un paramètre)

En effet, plus généralement, la différentielle de l'application exponentielle en une matrice {{mvar|X}} est donnée par :
:<math>\exp'_X(H)=\sum_{i,j\in\N}\frac{X^iHX^j}{(i+j+1)!}=\sum_{i,j\in\N}\Beta(i+1,j+1)\frac{X^i}{i!}H\frac{X^j}{j!}=\int_0^1{\rm e}^{(1-\alpha)X}H{\rm e}^{\alpha X}{\rm d}\alpha</math>
où {{math|B}} désigne la [[fonction bêta]], d'où :
:<math>\text{si }XH=HX,\quad\exp'_X(H)=H\,\mathrm e^X</math>.

=== Exemples physiques ===
==== Rotation dans le plan ====
Dans le [[plan euclidien]] muni d'un [[base orthonormée|repère orthonormé]], considérons la [[matrice de rotation]] d'angle {{sfrac|π|2}} :
:<math>R_\perp=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}</math>.
Alors :
:<math>\mathrm e^{\theta\,R_\perp}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}=R(\theta)</math>
est la matrice de rotation d'angle {{mvar|θ}}<ref name=JPP2004>{{Ouvrage| langue=fr| auteur1=Jean-Pierre Provost| auteur2=Gérard Vallée| titre=Les maths en physique| sous-titre=La physique à travers le filtre des mathématiques| éditeur=[[Éditions Dunod]]| collection=Sciences Sup| lieu=Paris| date=mars 2004| numéro d'édition=1| pages totales=331| passage=101-102| isbn=2-10-004652-7}}.</ref>.

==== Transformation de Galilée ====
Soit la matrice :
:<math>P_\mathrm G=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}</math>.
Alors :
:<math>\mathrm e^{-v\,P_\mathrm G}=\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}=T_\mathrm G(v)</math>
est la matrice de [[Transformations de Galilée#Transformation propre de Galilée|transformation de Galilée]] dans le plan {{math|(''x'' , ''t'')}} pour un déplacement de vitesse {{mvar|v}} sur l'axe {{math|O''x''}}<ref name=JPP2004/> : {{math|''x{{'}}'' {{=}} ''x – vt'', ''t{{'}}'' {{=}} ''t''}}.

==== Transformation de Lorentz ====
Soit la matrice :
:<math>P_\mathrm L=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}</math>.
Alors :
:<math>\mathrm e^{-\varphi P_\mathrm L}=\begin{pmatrix}\cosh\varphi&-\sinh\varphi\\-\sinh\varphi&\cosh\varphi\end{pmatrix}=T_\mathrm L(\varphi)</math>
est la matrice de [[Transformations de Lorentz|transformation de Lorentz]] dans le plan {{math|(''x'' , ''ct'')}} pour un déplacement de [[rapidité (relativité)|rapidité]] {{mvar|φ}} sur l'axe {{math|O''x''}}<ref name=JPP2004/>.

==== Rotations dans l'espace ====
Soit <math>\hat n</math> un [[vecteur unitaire]] de [[cosinus directeur]]s {{math|''α'', ''β'', ''γ''}} (<math>\hat n=\alpha\,\vec e_x+\beta\,\vec e_y+\gamma\,\vec e_z\,</math> avec {{math|''α''{{2}} + ''β''{{2}} + ''γ''{{2}} {{=}} 1}}), et soit la matrice<ref group="alpha">Cette matrice est celle qui permet d'écrire le [[produit vectoriel]] comme une [[application linéaire]] : <math>N_\hat n\,\vec r=\hat n\wedge\vec r.</math></ref> :
:<math>N_\hat n=\begin{pmatrix}0&-\gamma&\beta\\\gamma&0&-\alpha\\-\beta&\alpha&0\end{pmatrix}</math>.
Alors :
:<math>\mathrm e^{\theta\,N_\hat n}=R_\hat n(\theta)</math>
est la matrice de rotation d'angle {{mvar|θ}} autour d'un axe {{math|Δ}} de vecteur unitaire <math>\hat n</math><ref name=JPP2004/>.

==== Déformations ====
En [[géologie structurale]], on s'intéresse à la [[Déformation d'un matériau|déformation]] finie résultant, au bout d'un certain temps, d'une déformation progressive<ref name=AP2004/> :
:<math>\vec r_\mathrm f=D\cdot\vec r_0</math>,
:<math>\frac{\mathrm d\vec r}{\mathrm dt}=L(t)\cdot\vec r(t)</math>,
où <math>\vec r(t)=\overrightarrow\mathrm{OM}</math> désigne le [[vecteur position]] par rapport à un [[point matériel]] arbitraire choisi comme origine (qui peut suivre n'importe quelle trajectoire entre les instants {{math|''t''{{ind|0}}}} et {{math|''t''{{ind|f}}}}), <math>\vec r_0</math> la position initiale (à <math>t=t_0</math>) et <math>\vec r_\mathrm f</math> la position finale (à {{math|''t {{=}} t''{{ind|f}}}}). {{mvar|D}} est la « matrice de déformation finie » et {{math|''L''(''t'')}} la « matrice de déformation progressive ».

*Si {{math|''L''(''t'')}} est une matrice constante {{mvar|L}}, alors :
*:<math>D=\mathrm e^{(t-t_0)L}</math>.
*Si {{math|''L''(''t'')}} varie mais commute avec sa dérivée <math>({\mathrm dL}/{\mathrm dt})</math><ref group=alpha>C'est notamment le cas quand {{math|''L''(''t'')}} est proportionnelle à une matrice constante ({{math|''L''(''t'') {{=}} ''L''{{ind|0}}''f''(''t'')}}), ou bien encore si elle est [[matrice diagonale|diagonale]].</ref>, alors la formule précédente se généralise en<ref name=AP2004>{{article| langue=en| auteur1=Ariel Provost| auteur2=Cécile Buisson| auteur3=Olivier Merle| périodique=Journal of Geophysical Research: Solid Earth| titre=From progressive to finite deformation and back| volume=109| numéro=B2| numéro article=B02405| pages=1-11| date=février 2004| doi=10.1029/2001JB001734| lire en ligne=https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1029/2001JB001734| consulté le=10 juin 2018}}.</ref>{{,}}<ref group="alpha">Pour vérifier que cette expression est bien une (la) solution du système différentiel et des conditions initiales ci-dessus, il suffit de calculer <math>{\mathrm d\vec r}/{\mathrm dt}</math> en appliquant la définition de l'exponentielle d'une matrice : <math>\mathrm e^A=I+A+\frac{A^2}2+\cdots+\frac{A^n}{n!}+\cdots</math>.</ref> :
*:<math>D=\mathrm e^{\int_{t_0}^{t_\mathrm f}L(\tau)\,\mathrm d\tau}</math>.
* Dans le cas général on ne sait exprimer {{mvar|D}} que sous la forme d'un [[développement en série]]<ref name=Pham1962>{{Ouvrage| auteur1=Daniel Pham| titre=Techniques du Calcul Matriciel| éditeur=Dunod| lieu=Paris| année=1962| pages totales=387| passage=232-235}}.</ref>{{,}}{{note| groupe=alpha|On connaît une [[Solution de forme fermée|solution analytique fermée]] dans quelques rares cas où <math>L(t)</math> ne commute pas avec sa dérivée, notamment celui d'une [[matrice triangulaire]]<ref name=Pham1962/>.}}.

== Calculs de l'exponentielle d'une matrice ==

Le calcul d'une exponentielle de matrice n'est pas a priori un problème facile. Cependant, dans certains cas, et notamment ceux d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente, il ne présente aucune difficulté. Une fois cette remarque faite, le cas général peut se traiter en se ramenant aux deux cas précédents. 

=== Matrice diagonalisable ===

Si ''D'' est une matrice [[matrice diagonale|diagonale]], c'est-à-dire :

:<math>D=\begin{pmatrix} d_1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & d_2 & \ldots & 0  \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & d_n \end{pmatrix}</math>,

alors son exponentielle est obtenue en calculant l'exponentielle de chacun des termes de la [[diagonale principale]] :

:<math>\mathrm e^D=\begin{pmatrix}\mathrm e^{d_1} & 0 & \ldots & 0 \\
0 &\mathrm e^{d_2} & \ldots & 0  \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots &\mathrm e^{d_n} \end{pmatrix}</math>.


Si ''A'' est une matrice [[matrice diagonalisable|diagonalisable]], c'est-à-dire :
:<math>A = P D P^{-1}</math>
où ''D'' est diagonale, alors
:<math>\mathrm e^A = P\mathrm e^D P^{-1}</math>.

L'application exponentielle préserve ainsi les [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|espaces propres]], soit les sous-espaces engendrés par les [[Vecteur colonne|vecteurs colonnes]] de ''P''.

De plus, les valeurs propres de {{math|e<sup>''A''</sup>}} sont les exponentielles de celles de ''A'', soit les éléments diagonaux de e<sup>''D''</sup>.

=== Matrice nilpotente ===

Une matrice ''N'' est [[matrice nilpotente|nilpotente]] si ''N''<sup>''q''</sup> = [[Matrice nulle|0]] pour un entier ''q''. Dans ce cas, son exponentielle {{math|e<sup>''N''</sup>}} se calcule directement à partir de son développement en série, puisque celui-ci ne comporte alors qu'un nombre fini de termes :

:<math>\operatorname e^N = I + N + \frac{N^2}{2!} + \frac{N^3}{3!} + \cdots + \frac{N^{q-1}}{(q-1)!}</math>.

=== Matrice quelconque ===

Lorsque le [[polynôme minimal d'un endomorphisme|polynôme minimal]] d'une matrice ''X'' est [[Racine d'un polynôme|scindé]] (ce qui est en particulier toujours le cas pour les matrices à coefficients complexes), la [[décomposition de Dunford]] donne
:<math>X = A + N \,</math>
où
*''A'' est diagonalisable ;
*''N'' est nilpotente ;
*''A'' commute avec ''N''.

Dès lors, le calcul de l'exponentielle de ''X'' se réduit aux deux cas précédents :
:<math>\mathrm e^X =\mathrm e^{A+N} =\mathrm e^A\mathrm e^N</math>.

On peut aussi faire appel à la [[réduction de Jordan]] : soit ''J'' la forme de Jordan de ''X'', et ''P'' la [[matrice de passage]]. Alors,

:<math>\mathrm e^X=P\mathrm{e}^JP^{-1}</math>.

Puisque
: <math>J=J_{a_1}(\lambda_1)\oplus J_{a_2}(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J_{a_n}(\lambda_n)</math>,

:{|
|-
|<math>\mathrm e^J</math>
|<math>= \exp \left( J_{a_1}(\lambda_1)\oplus J_{a_2}(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J_{a_n}(\lambda_n) \right)</math>
|-
|
|<math>= \exp \left( J_{a_1}(\lambda_1) \right) \oplus \exp \left( J_{a_2}(\lambda_2) \right) \oplus\cdots\oplus \exp \left( J_{a_k}(\lambda_k) \right)</math>.
|}

En conséquence, il faut seulement connaître la méthode pour calculer l'exponentielle d'un bloc de Jordan. Chacun est de la forme
:<math>J_a(\lambda) = \lambda I + N</math>
où ''N'' est une matrice nilpotente. L'exponentielle du bloc est donnée par 
:<math>\mathrm e^{\lambda I + N} =\mathrm e^{\lambda}\mathrm e^N</math>.

==== Exemple ====
Soit la matrice
: <math>B=\begin{pmatrix}
21 & 17 & 6 \\
-5 & -1 & -6 \\
4 & 4 & 16 \end{pmatrix}</math>

qui a la forme de Jordan
: <math>J = P^{-1}BP =\begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 \\
0 & 16 & 1 \\
0 & 0 & 16 \end{pmatrix}</math>

et la matrice de passage

: <math>P=\begin{pmatrix}
-\frac14 & 2 & \frac54 \\
\frac14 & -2 & -\frac14 \\
0 & 4 & 0 \end{pmatrix}</math>,

d'inverse
:<math>P^{-1}=\begin{pmatrix}1&5&2\\0&0&\frac14\\1&1&0\end{pmatrix}</math>.

Maintenant, 
: <math>J=J_1(4)\oplus J_2(16)\qquad\text{et}\qquad\mathrm e^B=P\mathrm e^JP^{-1}=P\left(\mathrm e^{J_1(4)}\oplus\mathrm e^{J_2(16)}\right)P^{-1}</math>.

L'exponentielle de la matrice 1×1 ''J''{{ind|1}}(4) = [4] est simplement la matrice 1×1 [e{{4}}].

L'exponentielle de la matrice 2×2 ''J''{{ind|2}}(16) peut se calculer par la formule e{{exp|λ''I''+''N''}} = e{{exp|λ}} e{{exp|''N''}} mentionnée ci-dessus ; on obtient

: <math> \exp \left( 16I+\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right) =\mathrm e^{16}\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + {1 \over 2!}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\cdots\right)=\begin{pmatrix}\mathrm e^{16} &\mathrm e^{16} \\ 0 &\mathrm e^{16} \end{pmatrix}</math>,

d'où 

: <math>\mathrm e^B = P\begin{pmatrix}\mathrm e^4 & 0 & 0 \\ 0 &\mathrm e^{16} &\mathrm e^{16} \\ 0 & 0 &\mathrm e^{16}  \end{pmatrix} P^{-1} 
= {1\over 4} \begin{pmatrix}
13\mathrm e^{16}-\mathrm e^4 & 13\mathrm e^{16}-5\mathrm e^4 & 2\mathrm e^{16}-2\mathrm e^4 \\
-9\mathrm e^{16}+\mathrm e^4 & -9\mathrm e^{16}+5\mathrm e^4 & -2\mathrm e^{16}+2\mathrm e^4 \\
16\mathrm e^{16} & 16\mathrm e^{16} & 4\mathrm e^{16} 
\end{pmatrix}</math>.

== Applications ==

=== Équations différentielles linéaires ===

Une des premières applications de l'exponentielle de matrices est la résolution des [[équation différentielle ordinaire|équations différentielles ordinaires]]. En effet, de l'équation ci-dessus, on déduit que la solution de :
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}y(t) = Ay(t), \quad y(0) = y_0</math>,
où ''A'' est une matrice, est donnée par
:<math> y(t) =\mathrm e^{At} y_0</math>.

L'exponentielle d'une matrice peut aussi servir à résoudre les équations non homogènes :
:<math> \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} y(t) = Ay(t) + b(t), \quad y(0) = y_0</math>.

En multipliant par e<sup>−''At''</sup>, nous avons

: <math>\mathrm e^{-At}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} y(t)-\mathrm e^{-At}A y(t) =\mathrm e^{-At}b</math>
: <math> \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\mathrm e^{-At}y) =\mathrm e^{-At}b</math>.

La résolution du système se ramène donc au calcul de e<sup>''At''</sup>.

Il n'existe pas de solution explicite pour les équations différentielles de la forme :
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}y(t) = A(t) \, y(t), \quad y(0) = y_0</math>
où ''A'' n'est pas constant, mais le {{Lien|langue=en|trad=Magnus expansion|fr=développement de Magnus}} donne la solution sous la forme d'une somme infinie.

==== Exemple (équation homogène) ====
Soit le système
:<math>\left\{\begin{matrix}
x' &=& 2x&-y&+z \\
y' &=&   &3y&-z \\
z' &=& 2x&+y&+3z. \end{matrix}\right.</math>

La matrice associée est

:<math>M=\begin{pmatrix}
2 & -1 &  1 \\
0 &  3 & -1 \\
2 &  1 &  3 \end{pmatrix}</math>

et son exponentielle est

:<math>\begin{align}\mathrm e^{tM}&=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&0&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}\left(\mathrm e^{tJ_2(2)}\oplus\mathrm e^{tJ_1(4)}\right)\begin{pmatrix}1/2&1&1/2\\1&1&0\\1/2&0&1/2\end{pmatrix}\\&=
\begin{pmatrix}(\mathrm e^{2t}(1-2t)+\mathrm e^{4t})/2&-t\mathrm e^{2t}&(-\mathrm e^{2t}+\mathrm e^{4t})/2\\
(\mathrm e^{2t}(1+2t)-\mathrm e^{4t})/2&\mathrm e^{2t}(1+t)&(\mathrm e^{2t}-\mathrm e^{4t})/2\\
(\mathrm e^{2t}(-1+2t)+\mathrm e^{4t})/2&t\mathrm e^{2t}&(\mathrm e^{2t}+\mathrm e^{4t})/2\end{pmatrix}.\end{align}</math>

La solution générale du système est donc

: <math>\begin{pmatrix}x \\y \\ z\end{pmatrix}=
\frac{C_1}2\begin{pmatrix}\mathrm e^{2t}(1-2t)+\mathrm e^{4t}\\
\mathrm e^{2t}(1+2t)-\mathrm e^{4t}\\
\mathrm e^{2t}(-1+2t)+\mathrm e^{4t}\end{pmatrix}
+C_2\begin{pmatrix}-t\mathrm e^{2t}\\
\mathrm e^{2t}(1+t)\\
t\mathrm e^{2t}\end{pmatrix}
+\frac{C_3}2\begin{pmatrix}-\mathrm e^{2t}+\mathrm e^{4t}\\
\mathrm e^{2t}-\mathrm e^{4t}\\
\mathrm e^{2t}+\mathrm e^{4t}\end{pmatrix}</math>

c'est-à-dire, en posant <math>a=C_1/2</math>, <math>b=C_2</math> et <math>c=C_3/2</math> :

:<math>
\begin{align}
x&=a(\mathrm e^{2t}(1-2t)+\mathrm e^{4t})-bt\mathrm e^{2t}+c(-\mathrm e^{2t}+\mathrm e^{4t})\\
y&=a(\mathrm e^{2t}(1+2t)-\mathrm e^{4t})+b\mathrm e^{2t}(1+t)+c(\mathrm e^{2t}-\mathrm e^{4t}) \\
z&=a(\mathrm e^{2t}(-1+2t)+\mathrm e^{4t})+bt\mathrm e^{2t}+c(\mathrm e^{2t}+\mathrm e^{4t}).
\end{align}
</math>

==== Exemple (équation non homogène, variation de la constante) ====
Pour une équation non homogène, on peut utiliser une méthode semblable à la [[Méthode de variation des constantes|variation de la constante]].

Nous cherchons une solution de la forme {{math|'''y'''<sub>''p''</sub>(''t'') {{=}} exp(''tA'')'''z'''(''t'')}} :

: <math>\mathbf y_p' = (\mathrm e^{tA})'\mathbf z(t)+\mathrm e^{tA}\mathbf z'(t)= A\mathrm e^{tA}\mathbf z(t)+\mathrm e^{tA}\mathbf z'(t)= A\mathbf y_p(t)+\mathrm e^{tA}\mathbf z'(t)</math>

Avec {{math|'''y'''<sub>''p''</sub>}} comme solution :
: <math>\mathrm e^{tA}\mathbf z'(t)=\mathbf b(t)</math>
: <math>\mathbf z'(t)=(\mathrm e^{tA})^{-1}\mathbf b(t)</math>
: <math>\mathbf z(t)=\int_0^t\mathrm e^{-uA}\mathbf b(u)\,\mathrm du+\mathbf c</math>.

Alors,
: <math>\mathbf y_p =\mathrm e^{tA}\int_0^t\mathrm e^{-uA}\mathbf b(u)\,\mathrm du+\mathrm e^{tA}\mathbf c=\int_0^t\mathrm e^{(t-u)A}\mathbf b(u)\,\mathrm du+\mathrm e^{tA}\mathbf c</math>
où '''c''' dépend des conditions initiales.

==== Exemple (non homogène) ====
Soit le système

:<math>\left\{\begin{matrix}
x' &=& 2x&-y&+z&+\mathrm e^{2t} \\
y' &=&   &3y&-1z& \\
z' &=& 2x&+y&+3z&+\mathrm e^{2t}.\end{matrix} \right.</math>

Nous avons donc

:<math>M=\begin{pmatrix}
2 & -1 &  1 \\
0 &  3 & -1 \\
2 &  1 &  3 \end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad\mathbf b=\mathrm e^{2t}\begin{pmatrix}1 \\0\\1\end{pmatrix}</math>.

Comme auparavant, la somme de la solution homogène et de la solution particulière donne la solution générale. La solution homogène étant connue, il suffit de trouver la solution particulière.

:<math>\begin{align}\mathbf y_p&=\mathrm e^t\int_0^t\mathrm e^{-uA}\begin{pmatrix}\mathrm e^{2u} \\0\\\mathrm e^{2u}\end{pmatrix}\,\mathrm du+e^{tA}\mathbf c\\
&=\mathrm e^t\int_0^t
\begin{pmatrix} 
     2\mathrm e^u - 2u\mathrm e^{2u} & -2u\mathrm e^{2u}    & 0 \\  \\
-2\mathrm e^u + 2(u+1)\mathrm e^{2u} & 2(u+1)\mathrm e^{2u} & 0 \\  \\
            2u\mathrm e^{2u} & 2u\mathrm e^{2u}     & 2\mathrm e^u\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm e^{2u} \\0\\\mathrm e^{2u}\end{pmatrix}\,\mathrm du+\mathrm e^{tA}\mathbf c\\
&=\mathrm e^t\int_0^t
\begin{pmatrix}
\mathrm e^{2u}(2\mathrm e^u-2u\mathrm e^{2u}) \\  \\
\mathrm e^{2u}(-2\mathrm e^u+2(1 + u)\mathrm e^{2u}) \\  \\
2\mathrm e^{3u} + 2u\mathrm e^{4u}\end{pmatrix}\,\mathrm du+\mathrm e^{tA}\mathbf c\\
&=\mathrm e^t\begin{pmatrix}
-{1\over24}\mathrm e^{3t}(3\mathrm e^t(4t-1)-16) \\  \\
{1\over24}\mathrm e^{3t}(3\mathrm e^t(4t+4)-16) \\  \\
{1\over24}\mathrm e^{3t}(3\mathrm e^t(4t-1)-16)\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix} 
2\mathrm e^t-2t\mathrm e^{2t} & -2t\mathrm e^{2t} & 0 \\  \\
-2\mathrm e^t + 2(t+1)\mathrm e^{2t} & 2(t+1)\mathrm e^{2t} & 0 \\  \\
2t\mathrm e^{2t} & 2t\mathrm e^{2t} & 2\mathrm e^t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1 \\c_2 \\c_3\end{pmatrix},\end{align}</math>

expression qui peut être simplifiée pour obtenir la solution particulière cherchée.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Matrix exponential|198853573|type=note}}

=== Notes ===
{{Références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice|wikiversity titre=Chapitre « Exponentielle d'une matrice » de la leçon « Réduction des endomorphismes »}}

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Roger A.|nom1=Horn|prénom2=Charles R.|nom2=Johnson|titre=Topics in Matrix Analysis|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1991|pages totales=607|isbn=0-521-46713-6|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=LeuNXB2bl5EC&printsec=frontcover}}
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Xavier Merlin|titre=Algèbre|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|collection=Methodix|année=2007|pages totales=400|isbn=978-2-7298-9555-6|isbn2=2-7298-9555-8}}
* {{article |langue=en
|auteur=Cleve Moler
|prénom2=Charles |nom2=Van Loan
|titre=Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix
|périodique=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] Review
|volume=20 |numéro=4
|année=1978 
|doi=10.1137/1020098
}}
* {{article |langue=en
|auteur=Cleve Moler
|prénom2=Charles |nom2=Van Loan
|titre=Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later
|périodique=SIAM Review
|volume=45 |numéro=1
|année=2003
|doi=10.1137/S00361445024180
}}
* {{article |langue=en
|auteur=Roger B. Sidje
|titre=Expokit: a software package for computing matrix exponentials
|périodique=[[Association for Computing Machinery|ACM]] TOMS
|volume=24 |numéro=1
|mois=mars |année=1998
|doi=10.1145/285861.285868
}} {{commentaire biblio SRL|[http://www.maths.uq.edu.au/expokit/ Code source]}}

=== Articles connexes ===
* [[Application exponentielle]]
* [[Série de Neumann]]
* [[Logarithme d'une matrice]]

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Matrice]]
[[Catégorie:Exponentielle]]