Exponentielle d'une matrice

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, l'exponentielle d'une matrice est une fonction généralisant la fonction exponentielle aux matrices et aux endomorphismes par le calcul fonctionnel. Elle fait en particulier le pont entre un groupe de Lie et son algèbre de Lie.

Définition

Pour n = 1, on retrouve la définition de l'exponentielle complexe.

Propriétés

Modèle:Section à sourcer Sauf indication contraire, Modèle:Mvar, Modèle:MvarModèle:Etc. désignent des matrices Modèle:Math complexes (à coefficients complexes).

Propriétés générales

• L'exponentielle de la matrice nulle est la matrice identité : ${\mathrm{e}}^0=I$ ;
• Le déterminant de l'exponentielle d'une matrice est égal à l'exponentielle de sa trace : $\det \left({\mathrm{e}}^X\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{tr}(X)}$;
• si Modèle:Mvar est une matrice inversible, alors ${\mathrm{e}}^{YX{Y}^{-1}}=Y{\mathrm{e}}^X{Y}^{-1}$ ;
• l'exponentielle de matrice vérifie la limite : ${\mathrm{e}}^X=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(I+\frac{X}{k})}^k$;
• ${\mathrm{e}}^{(X+Y)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left({\mathrm{e}}^{\frac{X}{n}}{\mathrm{e}}^{\frac{Y}{n}}\right)}^n$ (formule de Trotter-Kato) ;
• il existe un polynôme d'endomorphisme Modèle:Mvar (dépendant de X) tel que ${\mathrm{e}}^X=P_X(X)$.
• L'exponentielle induit une surjection continue de ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}(ℝ)$ (ensemble des matrices antisymétriques) dans $\mathrm{S}{\mathrm{O}}_{\mathrm{n}}(ℝ)$ (groupe spécial orthogonal des matrices orthogonales) de déterminant $1$.
• Elle induit de plus un homéomorphisme de ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}(ℝ)$ (ensemble des matrices symétriques) dans ${{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}}^{\mathrm{+}\mathrm{+}}(ℝ)$ (ensemble des matrices symétriques définies positives).

Transposition et conjugaison

La transposée, la conjuguée et l'adjointe d'une matrice Modèle:Mvar sont notées $X^{𝖳}$, $\bar{X}$ et $X^{†}$.

• L'exponentielle de la transposée d'une matrice est la transposée de l'exponentielle de la matrice : ${\mathrm{e}}^{X^{𝖳}}={\left({\mathrm{e}}^X\right)}^{𝖳}$. Il s'ensuit que :
  • si Modèle:Mvar est symétrique ($X^{𝖳}=X$), alors Modèle:Math l'est aussi : ${\left({\mathrm{e}}^X\right)}^{𝖳}={\mathrm{e}}^X$ ;
  • si Modèle:Mvar est antisymétrique ($X^{𝖳}=-X$) et réelle (à coefficients réels), alors Modèle:Math est orthogonale : ${\left({\mathrm{e}}^X\right)}^{-1}={\left({\mathrm{e}}^X\right)}^{𝖳}$.
• L'exponentielle de la conjuguée d'une matrice est la conjuguée de l'exponentielle de la matrice : ${\mathrm{e}}^{\bar{X}}=\overline{{\mathrm{e}}^X}$ et donc, compte tenu de la propriété précédente :
• L'exponentielle de l'adjointe d'une matrice est l'adjointe de l'exponentielle de la matrice : ${\mathrm{e}}^{X^{†}}={\left({\mathrm{e}}^X\right)}^{†}$. Il s'ensuit que :
  • si Modèle:Mvar est hermitienne ($X^{†}=X$), alors Modèle:Math l'est aussi : ${\left({\mathrm{e}}^X\right)}^{†}={\mathrm{e}}^X$ ;
  • si Modèle:Mvar est antihermitienne ($X^{†}=-X$), alors Modèle:Math est unitaire : ${\left({\mathrm{e}}^X\right)}^{-1}={\left({\mathrm{e}}^X\right)}^{†}$.

Commutativité

Le commutateur de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar est noté Modèle:Math.

• Si Modèle:Math (les matrices commutent) alors ${\mathrm{e}}^X{\mathrm{e}}^Y={\mathrm{e}}^{X+Y}(={\mathrm{e}}^Y{\mathrm{e}}^X)$.
• Plus généralement, en supposant seulement que Modèle:Math commute avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, ${\mathrm{e}}^X{\mathrm{e}}^Y={\mathrm{e}}^{X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]}$ (formule de Glauber).

• Encore plus généralement, la formule de Baker-Campbell-Hausdorff donne l'expression de ${\mathrm{e}}^{X+Y}-{\mathrm{e}}^X{\mathrm{e}}^Y$, plus précisément d'un logarithme de Modèle:Math, par une série ne faisant intervenir que Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et leurs commutateurs. Les premiers termes sontModèle:, :

  $\log ({\mathrm{e}}^X{\mathrm{e}}^Y)=X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}[X,[X,Y]]+\frac{1}{12}[Y,[Y,X]]-\frac{1}{24}[X,[Y,[X,Y]]]+\dots$

La réciproque est cependant fausse : pour

$X=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 2\mathrm{i}\pi \end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 2\mathrm{i}\pi \end{array}\right),$

on a

${\mathrm{e}}^X={\mathrm{e}}^Y={\mathrm{e}}^{X+Y}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

mais ces deux matrices ne commutent pas.

Application exponentielle

Application exponentielle de matrice Modèle:Math

L'exponentielle d'une matrice est toujours inversible. L'inverse de Modèle:Math est donné par Modèle:Math. Cette fonction est donc une application $\exp :{\mathrm{M}}_n(ℂ)\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(ℂ)$ de l'ensemble des matrices Modèle:Math vers le groupe général linéaire, c'est-à-dire le groupe de toutes les matrices inversibles. Cette application est surjective.

Pour deux matrices Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, nous avons :

$\Vert {\mathrm{e}}^{X+Y}-{\mathrm{e}}^X\Vert \le \Vert Y\Vert {\mathrm{e}}^{\Vert X\Vert }{\mathrm{e}}^{\Vert Y\Vert },$

où || · || désigne une norme matricielle arbitraire. Il suit que l'application exponentielle est continue et lipschitzienne sur tout sous-ensemble compact de ${\mathrm{M}}_n(ℂ)$.

L'application $\exp :{\mathrm{M}}_n(ℂ)\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(ℂ)$ est même de classe $C^{\mathrm{\infty }}$.

Sa différentielle en Modèle:Math est l'identité et elle réalise un difféomorphisme entre un voisinage de Modèle:Math et un voisinage de l'identité.

Application Modèle:Math

L'application :

$t\mapsto {\mathrm{e}}^{tX},t\in ℝ$

définit une courbe de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ dans le groupe linéaire qui passe par l'identité en t = 0. Cette courbe est en fait un sous-groupe de Lie commutatif à un paramètre de ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(ℂ)$ puisque :

${\mathrm{e}}^{t_{1}X}{\mathrm{e}}^{t_{2}X}={\mathrm{e}}^{(t_1+t_2)X}={\mathrm{e}}^{t_{2}X}{\mathrm{e}}^{t_{1}X}$.

La dérivée de cette courbe au point t est donnée par :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathrm{e}}^{tX}=X{\mathrm{e}}^{tX}={\mathrm{e}}^{tX}X(1)$

(la dérivée au point t = 0 est la matrice Modèle:Mvar, ce qui revient à dire que Modèle:Mvar engendre ce sous-groupe à un paramètre)

En effet, plus généralement, la différentielle de l'application exponentielle en une matrice Modèle:Mvar est donnée par :

$\exp {\text{'}}_X(H)=\sum _{i,j\in \mathbb{N}}\frac{X^{i}H{X}^j}{(i+j+1)!}=\sum _{i,j\in \mathbb{N}}\mathrm{B}(i+1,j+1)\frac{X^i}{i!}H\frac{X^j}{j!}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{e}}^{(1-\alpha )X}H{\mathrm{e}}^{\alpha X}\mathrm{d}\alpha$

où Modèle:Math désigne la fonction bêta, d'où :

$\text{si }XH=HX,\exp {\text{'}}_X(H)=H{\mathrm{e}}^X$.

Exemples physiques

Rotation dans le plan

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé, considérons la matrice de rotation d'angle Modèle:Sfrac :

$R_{\perp }=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Alors :

${\mathrm{e}}^{\theta R_{\perp }}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=R(\theta )$

est la matrice de rotation d'angle Modèle:Mvar.

Transformation de Galilée

Soit la matrice :

$P_{\mathrm{G}}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Alors :

${\mathrm{e}}^{-v{P}_{\mathrm{G}}}=\left(\begin{array}{cc}1& -v\\ 0& 1\end{array}\right)=T_{\mathrm{G}}(v)$

est la matrice de transformation de Galilée dans le plan Modèle:Math pour un déplacement de vitesse Modèle:Mvar sur l'axe Modèle:Math : Modèle:Math.

Transformation de Lorentz

Soit la matrice :

$P_{\mathrm{L}}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Alors :

${\mathrm{e}}^{-\phi P_{\mathrm{L}}}=\left(\begin{array}{cc}\cosh \phi & -\sinh \phi \\ -\sinh \phi & \cosh \phi \end{array}\right)=T_{\mathrm{L}}(\phi )$

est la matrice de transformation de Lorentz dans le plan Modèle:Math pour un déplacement de rapidité Modèle:Mvar sur l'axe Modèle:Math.

Rotations dans l'espace

Soit $\hat{n}$ un vecteur unitaire de cosinus directeurs Modèle:Math ($\hat{n}=\alpha {\overrightarrow{e}}_x+\beta {\overrightarrow{e}}_y+\gamma {\overrightarrow{e}}_z$ avec Modèle:Math), et soit la matrice :

$N_{\hat{n}}=\left(\begin{array}{ccc}0& -\gamma & \beta \\ \gamma & 0& -\alpha \\ -\beta & \alpha & 0\end{array}\right)$.

Alors :

${\mathrm{e}}^{\theta N_{\hat{n}}}=R_{\hat{n}}(\theta )$

est la matrice de rotation d'angle Modèle:Mvar autour d'un axe Modèle:Math de vecteur unitaire $\hat{n}$.

Déformations

En géologie structurale, on s'intéresse à la déformation finie résultant, au bout d'un certain temps, d'une déformation progressive :

${\overrightarrow{r}}_{\mathrm{f}}=D\cdot {\overrightarrow{r}}_0$,

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}=L(t)\cdot \overrightarrow{r}(t)$,

où $\overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}$ désigne le vecteur position par rapport à un point matériel arbitraire choisi comme origine (qui peut suivre n'importe quelle trajectoire entre les instants Modèle:Math et Modèle:Math), ${\overrightarrow{r}}_0$ la position initiale (à $t=t_0$) et ${\overrightarrow{r}}_{\mathrm{f}}$ la position finale (à Modèle:Math). Modèle:Mvar est la « matrice de déformation finie » et Modèle:Math la « matrice de déformation progressive ».

• Si Modèle:Math est une matrice constante Modèle:Mvar, alors :

  $D={\mathrm{e}}^{(t-t_0)L}$.

• Si Modèle:Math varie mais commute avec sa dérivée $(\mathrm{d}L/\mathrm{d}t)$, alors la formule précédente se généralise enModèle:, :

  $D={\mathrm{e}}^{\underset{t_0}{\overset{t_{\mathrm{f}}}{\int }}L(\tau )\mathrm{d}\tau }$.

• Dans le cas général on ne sait exprimer Modèle:Mvar que sous la forme d'un développement en sérieModèle:,Modèle:Note.

Calculs de l'exponentielle d'une matrice

Le calcul d'une exponentielle de matrice n'est pas a priori un problème facile. Cependant, dans certains cas, et notamment ceux d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente, il ne présente aucune difficulté. Une fois cette remarque faite, le cas général peut se traiter en se ramenant aux deux cas précédents.

Matrice diagonalisable

Si D est une matrice diagonale, c'est-à-dire :

$D=\left(\begin{array}{cccc}{d}_1& 0& \dots & 0\\ 0& d_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & d_n\end{array}\right)$,

alors son exponentielle est obtenue en calculant l'exponentielle de chacun des termes de la diagonale principale :

${\mathrm{e}}^D=\left(\begin{array}{cccc}{\mathrm{e}}^{d_1}& 0& \dots & 0\\ 0& {\mathrm{e}}^{d_2}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & {\mathrm{e}}^{d_n}\end{array}\right)$.

Si A est une matrice diagonalisable, c'est-à-dire :

$A=PD{P}^{-1}$

où D est diagonale, alors

${\mathrm{e}}^A=P{\mathrm{e}}^D{P}^{-1}$.

L'application exponentielle préserve ainsi les espaces propres, soit les sous-espaces engendrés par les vecteurs colonnes de P.

De plus, les valeurs propres de Modèle:Math sont les exponentielles de celles de A, soit les éléments diagonaux de e^D.

Matrice nilpotente

Une matrice N est nilpotente si N^q = 0 pour un entier q. Dans ce cas, son exponentielle Modèle:Math se calcule directement à partir de son développement en série, puisque celui-ci ne comporte alors qu'un nombre fini de termes :

${\mathrm{e}}^N=I+N+\frac{N^2}{2!}+\frac{N^3}{3!}+\cdots +\frac{N^{q-1}}{(q-1)!}$.

Matrice quelconque

Lorsque le polynôme minimal d'une matrice X est scindé (ce qui est en particulier toujours le cas pour les matrices à coefficients complexes), la décomposition de Dunford donne

$X=A+N$

où

• A est diagonalisable ;
• N est nilpotente ;
• A commute avec N.

Dès lors, le calcul de l'exponentielle de X se réduit aux deux cas précédents :

${\mathrm{e}}^X={\mathrm{e}}^{A+N}={\mathrm{e}}^A{\mathrm{e}}^N$.

On peut aussi faire appel à la réduction de Jordan : soit J la forme de Jordan de X, et P la matrice de passage. Alors,

${\mathrm{e}}^X=P{\mathrm{e}}^J{P}^{-1}$.

Puisque

$J=J_{a_1}({\lambda }_1)\oplus J_{a_2}({\lambda }_2)\oplus \cdots \oplus J_{a_n}({\lambda }_n)$,

${\mathrm{e}}^J$	$=\exp (J_{a_1}({\lambda }_1)\oplus J_{a_2}({\lambda }_2)\oplus \cdots \oplus J_{a_n}({\lambda }_n))$
	$=\exp (J_{a_1}({\lambda }_1))\oplus \exp (J_{a_2}({\lambda }_2))\oplus \cdots \oplus \exp (J_{a_k}({\lambda }_k))$.

En conséquence, il faut seulement connaître la méthode pour calculer l'exponentielle d'un bloc de Jordan. Chacun est de la forme

$J_a(\lambda )=\lambda I+N$

où N est une matrice nilpotente. L'exponentielle du bloc est donnée par

${\mathrm{e}}^{\lambda I+N}={\mathrm{e}}^{\lambda }{\mathrm{e}}^N$.

Exemple

Soit la matrice

$B=\left(\begin{array}{ccc}21& 17& 6\\ -5& -1& -6\\ 4& 4& 16\end{array}\right)$

qui a la forme de Jordan

$J=P^{-1}BP=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 16& 1\\ 0& 0& 16\end{array}\right)$

et la matrice de passage

$P=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{4}& 2& \frac{5}{4}\\ \frac{1}{4}& -2& -\frac{1}{4}\\ 0& 4& 0\end{array}\right)$,

d'inverse

$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 5& 2\\ 0& 0& \frac{1}{4}\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$.

Maintenant,

$J=J_1(4)\oplus J_2(16)\text{et}{\mathrm{e}}^B=P{\mathrm{e}}^J{P}^{-1}=P({\mathrm{e}}^{J_1(4)}\oplus {\mathrm{e}}^{J_2(16)})P^{-1}$.

L'exponentielle de la matrice 1×1 JModèle:Ind(4) = [4] est simplement la matrice 1×1 [eModèle:4].

L'exponentielle de la matrice 2×2 JModèle:Ind(16) peut se calculer par la formule eModèle:Exp = eModèle:Exp eModèle:Exp mentionnée ci-dessus ; on obtient

$\exp (16I+\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right))={\mathrm{e}}^{16}(\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)+\frac{1}{2!}\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+\cdots )=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{16}& {\mathrm{e}}^{16}\\ 0& {\mathrm{e}}^{16}\end{array}\right)$,

d'où

${\mathrm{e}}^B=P\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^4& 0& 0\\ 0& {\mathrm{e}}^{16}& {\mathrm{e}}^{16}\\ 0& 0& {\mathrm{e}}^{16}\end{array}\right)P^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}13{\mathrm{e}}^{16}-{\mathrm{e}}^4& 13{\mathrm{e}}^{16}-5{\mathrm{e}}^4& 2{\mathrm{e}}^{16}-2{\mathrm{e}}^4\\ -9{\mathrm{e}}^{16}+{\mathrm{e}}^4& -9{\mathrm{e}}^{16}+5{\mathrm{e}}^4& -2{\mathrm{e}}^{16}+2{\mathrm{e}}^4\\ 16{\mathrm{e}}^{16}& 16{\mathrm{e}}^{16}& 4{\mathrm{e}}^{16}\end{array}\right)$.

Applications

Équations différentielles linéaires

Une des premières applications de l'exponentielle de matrices est la résolution des équations différentielles ordinaires. En effet, de l'équation ci-dessus, on déduit que la solution de :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y(t)=Ay(t),y(0)=y_0$,

où A est une matrice, est donnée par

$y(t)={\mathrm{e}}^{At}{y}_0$.

L'exponentielle d'une matrice peut aussi servir à résoudre les équations non homogènes :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y(t)=Ay(t)+b(t),y(0)=y_0$.

En multipliant par e^−At, nous avons

${\mathrm{e}}^{-At}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y(t)-{\mathrm{e}}^{-At}Ay(t)={\mathrm{e}}^{-At}b$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}({\mathrm{e}}^{-At}y)={\mathrm{e}}^{-At}b$.

La résolution du système se ramène donc au calcul de e^At.

Il n'existe pas de solution explicite pour les équations différentielles de la forme :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y(t)=A(t)y(t),y(0)=y_0$

où A n'est pas constant, mais le Modèle:Lien donne la solution sous la forme d'une somme infinie.

Exemple (équation homogène)

Soit le système

$\{\begin{array}{ccccc}{x}^{\prime }& =& 2x& -y& +z\\ y^{\prime }& =& & 3y& -z\\ z^{\prime }& =& 2x& +y& +3z.\end{array}$

La matrice associée est

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 3& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$

et son exponentielle est

$\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{tM}& =\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)({\mathrm{e}}^{t{J}_2(2)}\oplus {\mathrm{e}}^{t{J}_1(4)})\left(\begin{array}{ccc}1/2& 1& 1/2\\ 1& 1& 0\\ 1/2& 0& 1/2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}({\mathrm{e}}^{2t}(1-2t)+{\mathrm{e}}^{4t})/2& -t{\mathrm{e}}^{2t}& (-{\mathrm{e}}^{2t}+{\mathrm{e}}^{4t})/2\\ ({\mathrm{e}}^{2t}(1+2t)-{\mathrm{e}}^{4t})/2& {\mathrm{e}}^{2t}(1+t)& ({\mathrm{e}}^{2t}-{\mathrm{e}}^{4t})/2\\ ({\mathrm{e}}^{2t}(-1+2t)+{\mathrm{e}}^{4t})/2& t{\mathrm{e}}^{2t}& ({\mathrm{e}}^{2t}+{\mathrm{e}}^{4t})/2\end{array}\right).\end{array}$

La solution générale du système est donc

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\frac{C_1}{2}\left(\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{2t}(1-2t)+{\mathrm{e}}^{4t}\\ {\mathrm{e}}^{2t}(1+2t)-{\mathrm{e}}^{4t}\\ {\mathrm{e}}^{2t}(-1+2t)+{\mathrm{e}}^{4t}\end{array}\right)+C_2\left(\begin{array}{c}-t{\mathrm{e}}^{2t}\\ {\mathrm{e}}^{2t}(1+t)\\ t{\mathrm{e}}^{2t}\end{array}\right)+\frac{C_3}{2}\left(\begin{array}{c}-{\mathrm{e}}^{2t}+{\mathrm{e}}^{4t}\\ {\mathrm{e}}^{2t}-{\mathrm{e}}^{4t}\\ {\mathrm{e}}^{2t}+{\mathrm{e}}^{4t}\end{array}\right)$

c'est-à-dire, en posant $a=C_1/2$, $b=C_2$ et $c=C_3/2$ :

$\begin{array}{cc}x& =a({\mathrm{e}}^{2t}(1-2t)+{\mathrm{e}}^{4t})-bt{\mathrm{e}}^{2t}+c(-{\mathrm{e}}^{2t}+{\mathrm{e}}^{4t})\\ y& =a({\mathrm{e}}^{2t}(1+2t)-{\mathrm{e}}^{4t})+b{\mathrm{e}}^{2t}(1+t)+c({\mathrm{e}}^{2t}-{\mathrm{e}}^{4t})\\ z& =a({\mathrm{e}}^{2t}(-1+2t)+{\mathrm{e}}^{4t})+bt{\mathrm{e}}^{2t}+c({\mathrm{e}}^{2t}+{\mathrm{e}}^{4t}).\end{array}$

Exemple (équation non homogène, variation de la constante)

Pour une équation non homogène, on peut utiliser une méthode semblable à la variation de la constante.

Nous cherchons une solution de la forme Modèle:Math :

${{𝐲}_p}^{\prime }=({\mathrm{e}}^{tA}{)}^{\prime }𝐳(t)+{\mathrm{e}}^{tA}{𝐳}^{\prime }(t)=A{\mathrm{e}}^{tA}𝐳(t)+{\mathrm{e}}^{tA}{𝐳}^{\prime }(t)=A{𝐲}_p(t)+{\mathrm{e}}^{tA}{𝐳}^{\prime }(t)$

Avec Modèle:Math comme solution :

${\mathrm{e}}^{tA}{𝐳}^{\prime }(t)=𝐛(t)$

${𝐳}^{\prime }(t)=({\mathrm{e}}^{tA}{)}^{-1}𝐛(t)$

$𝐳(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mathrm{e}}^{-uA}𝐛(u)\mathrm{d}u+𝐜$.

Alors,

${𝐲}_p={\mathrm{e}}^{tA}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mathrm{e}}^{-uA}𝐛(u)\mathrm{d}u+{\mathrm{e}}^{tA}𝐜=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mathrm{e}}^{(t-u)A}𝐛(u)\mathrm{d}u+{\mathrm{e}}^{tA}𝐜$

où c dépend des conditions initiales.

Exemple (non homogène)

Soit le système

$\{\begin{array}{cccccc}{x}^{\prime }& =& 2x& -y& +z& +{\mathrm{e}}^{2t}\\ y^{\prime }& =& & 3y& -1z& \\ z^{\prime }& =& 2x& +y& +3z& +{\mathrm{e}}^{2t}.\end{array}$

Nous avons donc

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 3& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right)\text{et}𝐛={\mathrm{e}}^{2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

Comme auparavant, la somme de la solution homogène et de la solution particulière donne la solution générale. La solution homogène étant connue, il suffit de trouver la solution particulière.

$\begin{array}{cc}{𝐲}_p& ={\mathrm{e}}^t\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mathrm{e}}^{-uA}\left(\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{2u}\\ 0\\ {\mathrm{e}}^{2u}\end{array}\right)\mathrm{d}u+e^{tA}𝐜\\ & ={\mathrm{e}}^t\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(\begin{array}{ccc}2{\mathrm{e}}^u-2u{\mathrm{e}}^{2u}& -2u{\mathrm{e}}^{2u}& 0\\ \\ -2{\mathrm{e}}^u+2(u+1){\mathrm{e}}^{2u}& 2(u+1){\mathrm{e}}^{2u}& 0\\ \\ 2u{\mathrm{e}}^{2u}& 2u{\mathrm{e}}^{2u}& 2{\mathrm{e}}^u\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{2u}\\ 0\\ {\mathrm{e}}^{2u}\end{array}\right)\mathrm{d}u+{\mathrm{e}}^{tA}𝐜\\ & ={\mathrm{e}}^t\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{2u}(2{\mathrm{e}}^u-2u{\mathrm{e}}^{2u})\\ \\ {\mathrm{e}}^{2u}(-2{\mathrm{e}}^u+2(1+u){\mathrm{e}}^{2u})\\ \\ 2{\mathrm{e}}^{3u}+2u{\mathrm{e}}^{4u}\end{array}\right)\mathrm{d}u+{\mathrm{e}}^{tA}𝐜\\ & ={\mathrm{e}}^t\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{24}{\mathrm{e}}^{3t}(3{\mathrm{e}}^t(4t-1)-16)\\ \\ \frac{1}{24}{\mathrm{e}}^{3t}(3{\mathrm{e}}^t(4t+4)-16)\\ \\ \frac{1}{24}{\mathrm{e}}^{3t}(3{\mathrm{e}}^t(4t-1)-16)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}2{\mathrm{e}}^t-2t{\mathrm{e}}^{2t}& -2t{\mathrm{e}}^{2t}& 0\\ \\ -2{\mathrm{e}}^t+2(t+1){\mathrm{e}}^{2t}& 2(t+1){\mathrm{e}}^{2t}& 0\\ \\ 2t{\mathrm{e}}^{2t}& 2t{\mathrm{e}}^{2t}& 2{\mathrm{e}}^t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right),\end{array}$

expression qui peut être simplifiée pour obtenir la solution particulière cherchée.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
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Articles connexes

• Application exponentielle
• Série de Neumann
• Logarithme d'une matrice