Matrice conjuguée

Modèle:Ébauche En algèbre linéaire, la matrice conjuguée d'une matrice $A$ à coefficients complexes est la matrice $\bar{A}$ constituée des éléments de $A$ conjugués.

Plus précisément, si on note $a_{i,j}$ et $b_{i,j}$ les coefficients respectifs de $A$ et de $\bar{A}$ alors

$b_{i,j}=\overline{a_{i,j}}$.

Par exemple si

$A=\left(\begin{array}{cc}3+i& 5\\ 2-2i& i\end{array}\right)$

alors $\overline{A}=\left(\begin{array}{cc}3-i& 5\\ 2+2i& -i\end{array}\right)$.

Le concept de matrice conjuguée ne doit pas être confondu avec le concept de conjugaison dans un groupe général linéaire, on parle dans ce cas de matrices semblables.

Propriétés

On note $A$ et $B$ deux matrices quelconques de $M_{m,n}(ℂ)$ et $\alpha \in ℂ$ un scalaire.

• L'application « conjugaison » est antilinéaire :

  $\overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B},\overline{\alpha A}=\bar{\alpha }\bar{A}$.

• La matrice conjuguée de $\bar{A}$ est $A$. Par conséquent, l'application « conjugaison » de ${\mathrm{M}}_{m,n}(K)$ dans lui-même est une bijection et une involution.
• La matrice conjuguée du produit de deux matrices est égale au produit des matrices conjuguées de ces deux matrices:

  $\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}$.

• Si une matrice carrée $A$ est inversible, alors sa matrice conjuguée l'est aussi, et la matrice conjuguée de l'inverse de $A$ est égale à l'inverse de sa matrice conjuguée :

  $\overline{A^{-1}}={\left(\bar{A}\right)}^{-1}$.

Articles connexes

• Espace vectoriel conjugué