Espace vectoriel conjugué

Modèle:Homon En algèbre linéaire, l'espace vectoriel conjugué d'un espace vectoriel complexe est un nouvel espace vectoriel obtenu en modifiant la définition du produit par les scalaires.

Définition

Soit $(E,+,\cdot )$ un espace vectoriel sur le corps ℂ des nombres complexes. On appelle espace vectoriel conjugué de $(E,+,\cdot )$, l'ensemble E muni de la même opération d'addition + et du produit par les scalaires $\star$ défini par :

$\star :(\lambda ,u)\in ℂ\times E\mapsto \lambda \star u=\bar{\lambda }\cdot u$

où Modèle:Math désigne le conjugué du nombre complexe Modèle:Math.

Le triplet $(E,+,\star )$ est également un espace vectoriel complexe, appelé conjugué de $(E,+,\cdot )$ et de même dimension sur ℂ.

Notation

Comme il est usuel par abus de notation de désigner une structure mathématique par l'ensemble sous-jacent, si l'on retient la notation E comme raccourci de $(E,+,\cdot )$, il est pratique de désigner par Modèle:Surligner l'espace vectoriel $(E,+,\star )$. On se convaincra sans mal que $\overline{\stackrel{‾}{E}}=E.$

On peut par ailleurs définir l'opération formelle de conjugaison qui associe à $v\in E$ l'élément $\bar{v}\in \bar{E}$ (en fait le même objet, mais envisagé comme membre d'un espace vectoriel différent). Par un abus supplémentaire de notation, l'opération de produit par les scalaires dans Modèle:Surligner peut alors être notée avec le même symbole « ∙ » (la nature des vecteurs indique alors l'opération à considérer). On a ainsi :

• $\mathrm{\forall }(\lambda ,v)\in ℂ\times E\overline{\lambda \cdot v}=\bar{\lambda }\cdot \bar{v},$
• $\mathrm{\forall }v\in E\overline{\stackrel{‾}{v}}=v.$

L'opération de conjugaison de E dans Modèle:Surligner est l'exemple canonique d'application antilinéaire.

Application linéaire conjuguée

Toute application linéaire Modèle:Math induit une application linéaire conjuguée Modèle:Math, définie par la formule :

$\bar{f}(\bar{v})=\overline{f(v)}.$

De plus, la conjuguée de l'identité de V est l'identité de Modèle:Surligner, et quelles que soient les applications linéaires Modèle:Math et Modèle:Math composables, on a :

$\bar{f}\circ \bar{g}=\overline{f\circ g}.$

Ainsi, la conjugaison Modèle:Math est un foncteur covariant, de la catégorie des espaces vectoriels complexes dans elle-même.

Si V et W sont de dimensions finies et si Modèle:Math est représentée par une matrice A dans un couple de bases (ℬ, 𝒞) de (V, W), alors Modèle:Math est représentée, dans les bases (Modèle:Surligner, Modèle:Surligner), par la matrice conjuguée Modèle:Surligner.

Produit hermitien

Un produit hermitien sur E, défini comme forme sesquilinéaire sur E, c'est-à-dire antilinéaire à gauche et linéaire à droite (ou inversement suivant les auteurs), peut également être défini comme une forme bilinéaire sur Modèle:Surligner × E.

Si E est un espace de Hilbert, alors Modèle:Surligner est canoniquement isomorphe à EModèle:', le dual topologique de E. Autrement dit :

$\mathrm{\forall }\varphi \in E^{\prime }\mathrm{\exists }!\bar{u}\in \bar{E}(\overline{u}|v)=⟨\varphi ,v⟩=\varphi (v)$

où $(\cdot |\cdot )$ désigne le produit hermitien de E et $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ le crochet de dualité.

Article connexe

Représentation conjuguée

Modèle:Traduction/Référence